Os pontos \mathrm{A}(0 ; 6) e \mathrm{B}(3 ; 10) determinam uma reta, e os pontos \mathrm{C}(0 ; 0) e \mathrm{D}(9 ; 12) determinam outra reta, paralela à primeira reta. Os quatro pontos são vértices de um trapézio cuja área, em unidades quadradas, é igual a
(A) 32 .
(B) 28.
(C) 36 .
(D) 24 .
(E) 18 .

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos e diz que os pontos \mathrm{A}(0;6) e \mathrm{B}(3;10) determinam uma reta, e os pontos \mathrm{C}(0;0) e \mathrm{D}(9;12) determinam outra reta paralela à primeira. Pergunta-se a área, em unidades quadradas, do trapézio formado por esses quatro vértices.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \mathrm{A}=(0,6)
  • \mathrm{B}=(3,10)
  • \mathrm{C}=(0,0)
  • \mathrm{D}=(9,12)
    O que precisamos encontrar: a área do trapézio formado por esses quatro pontos.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que as duas retas são realmente paralelas, calculando as inclinações (coeficientes angulares) dos segmentos \overline{AB} e \overline{CD}. A inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando para \overline{AB}:
m_{AB}=\frac{10-6}{3-0}=\frac{4}{3}.
Aplicando para \overline{CD}:
m_{CD}=\frac{12-0}{9-0}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
Como m_{AB}=m_{CD}=\dfrac{4}{3}, as retas são paralelas (confirmando o enunciado).

Passo 3

Obtemos agora as equações das duas retas no formato y=mx+b. Para a reta que passa por \mathrm{A} e \mathrm{B} (que tem m=\tfrac{4}{3}) e contém \mathrm{A}(0,6), o coeficiente linear é b=6. Logo a equação é
y=\frac{4}{3}x+6.
Para a reta que passa por \mathrm{C} e \mathrm{D} (mesmo m) e contém \mathrm{C}(0,0), o coeficiente linear é b=0. Logo a equação é
y=\frac{4}{3}x.

Passo 4

No trapézio, os dois lados paralelos (as bases) são os segmentos \overline{AB} e \overline{CD}. Vamos calcular seus comprimentos usando a fórmula da distância entre dois pontos:
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Para \overline{AB}:
|\overline{AB}|=\sqrt{(3-0)^2+(10-6)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Para \overline{CD}:
|\overline{CD}|=\sqrt{(9-0)^2+(12-0)^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15.

Passo 5

Agora precisamos da altura (distância perpendicular) entre as duas retas paralelas. Uma forma direta é escrever as retas em forma padrão ax+by+c=0 e usar a fórmula da distância entre retas paralelas. Reescrevendo as equações:
y-\frac{4}{3}x-6=0 \quad\Longrightarrow\quad -4x+3y-18=0,
y-\frac{4}{3}x=0 \quad\Longrightarrow\quad -4x+3y+0=0.
Para duas retas da forma ax+by+c_1=0 e ax+by+c_2=0, a distância entre elas é
\text{dist}=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Aqui a=-4, b=3, c_1=-18 (para a reta superior) e c_2=0 (para a reta inferior). Portanto
\text{altura}=\frac{|0-(-18)|}{\sqrt{(-4)^2+3^2}}=\frac{18}{\sqrt{16+9}}=\frac{18}{5}=\frac{18}{5}.

Passo 6

Fórmula da área de um trapézio: a área é a média dos comprimentos das bases multiplicada pela altura. Em símbolos,
\text{Área}=\frac{|\overline{AB}|+|\overline{CD}|}{2}\times\text{altura}.Á
Substituindo os valores encontrados:
\text{Área}=\frac{5+15}{2}\times\frac{18}{5}=\frac{20}{2}\times\frac{18}{5}=10\times\frac{18}{5}=\frac{180}{5}=36.Á

Resposta

(C) 36

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