Os pontos \mathrm{A}(0 ; 6) e \mathrm{B}(3 ; 10) determinam uma reta, e os pontos \mathrm{C}(0 ; 0) e \mathrm{D}(9 ; 12) determinam outra reta, paralela à primeira reta. Os quatro pontos são vértices de um trapézio cuja área, em unidades quadradas, é igual a
(A) 32 .
(B) 28.
(C) 36 .
(D) 24 .
(E) 18 .
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos e diz que os pontos \mathrm{A}(0;6) e \mathrm{B}(3;10) determinam uma reta, e os pontos \mathrm{C}(0;0) e \mathrm{D}(9;12) determinam outra reta paralela à primeira. Pergunta-se a área, em unidades quadradas, do trapézio formado por esses quatro vértices.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mathrm{A}=(0,6)
\mathrm{B}=(3,10)
\mathrm{C}=(0,0)
\mathrm{D}=(9,12)
O que precisamos encontrar: a área do trapézio formado por esses quatro pontos.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que as duas retas são realmente paralelas, calculando as inclinações (coeficientes angulares) dos segmentos \overline{AB} e \overline{CD}. A inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando para \overline{AB}:
m_{AB}=\frac{10-6}{3-0}=\frac{4}{3}.
Aplicando para \overline{CD}:
m_{CD}=\frac{12-0}{9-0}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}.
Como m_{AB}=m_{CD}=\dfrac{4}{3}, as retas são paralelas (confirmando o enunciado).
Passo 3
Obtemos agora as equações das duas retas no formato y=mx+b. Para a reta que passa por \mathrm{A} e \mathrm{B} (que tem m=\tfrac{4}{3}) e contém \mathrm{A}(0,6), o coeficiente linear é b=6. Logo a equação é
y=\frac{4}{3}x+6.
Para a reta que passa por \mathrm{C} e \mathrm{D} (mesmo m) e contém \mathrm{C}(0,0), o coeficiente linear é b=0. Logo a equação é
y=\frac{4}{3}x.
Passo 4
No trapézio, os dois lados paralelos (as bases) são os segmentos \overline{AB} e \overline{CD}. Vamos calcular seus comprimentos usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Agora precisamos da altura (distância perpendicular) entre as duas retas paralelas. Uma forma direta é escrever as retas em forma padrão ax+by+c=0 e usar a fórmula da distância entre retas paralelas. Reescrevendo as equações: