Seja (u1, u2, u3) vetores linearmente independentes. Sejam v1=u2-u3, v2=u3-u1, v3=u1-u2 e w1=u2+u3, w2=u1+u1 e w3=u1+u2.
Mostre que ( v1, v2, v3 ) é linearmente dependente.

Passo 1

O enunciado diz que (u1,u2,u3) são vetores linearmente independentes e define
v1=u2-u3, v2=u3-u1, v3=u1-u2
Queremos mostrar que (v1,v2,v3) é um sistema de vetores linearmente dependente, ou seja, que existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.

Passo 2

Lembrando a definição, vetores v1,v2,v3 são linearmente dependentes se existem escalares alpha,beta,gamma, não todos zero, tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0
Uma escolha natural é tentar alpha=beta=gamma=1, pois às vezes as diferenças se cancelam.

Passo 3

Vamos calcular a soma v1+v2+v3:
v1+v2+v3 =(u2-u3)+(u3-u1)+(u1-u2) = u2-u3+u3-u1+u1-u2 =0
Isso mostra que
1cdot v1+1cdot v2+1cdot v3=0
com coeficientes (1,1,1) nem todos nulos.

Resposta

Como encontramos alpha=beta=gamma=1 não todos zero com
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=0,
concluímos que (v1,v2,v3) é linearmente dependente.

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