Seja W=lang<= u1, u2rang<==x u1+y u2 mid x, y in R subset R^3, onde u1=(l1 0 1) e u2=(l1 1 1).
Qual é a dimensâo de W? Justifique.

Passo 1

O enunciado define
W=lang<= u1,u2rang<==x,u1+y,u2mid x,yinRsubsetR^3,
com
u1=101, u2=111
Pede-se a dimensão de W. Para isso, vamos verificar se u1,u2 é um conjunto de vetores linearmente independentes em R^3.

Passo 2

Lembrando que a dimensão de um subespaço é o número máximo de vetores linearmente independentes que o geram. Verificamos a independência de u1 e u2 resolvendo
x,u1+y,u2=0

Passo 3

Escrevendo componente a componente, temos
Isso gera o sistema

Passo 4

Do segundo item y=0. Substituindo em x+y=0 vem x=0. Logo a única solução é x=y=0, ou seja, a combinação linear trivial. Isso prova que u1 e u2 são linearmente independentes.

Passo 5

Como u1,u2 é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram W, ele é uma base de W. Portanto,
dim(W)=#vetores na base=2

Resposta

dim(W)=2

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