Seja , onde e u2=(l1 1 1).
Qual é a dimensâo de W? Justifique.
Passo 1
O enunciado define W=lang<= u1,u2rang<==x,u1+y,u2mid x,yinRsubsetR^3,
com
u1=101, u2=111
Pede-se a dimensão de W. Para isso, vamos verificar se u1,u2 é um conjunto de vetores linearmente independentes em R^3.
Passo 2
Lembrando que a dimensão de um subespaço é o número máximo de vetores linearmente independentes que o geram. Verificamos a independência de u1 e u2 resolvendo
x,u1+y,u2=0
Passo 3
Escrevendo componente a componente, temos
Isso gera o sistema
Passo 4
Do segundo item y=0. Substituindo em x+y=0 vem x=0. Logo a única solução é x=y=0, ou seja, a combinação linear trivial. Isso prova que u1 e u2 são linearmente independentes.
Passo 5
Como u1,u2 é um conjunto de dois vetores linearmente independentes que geram W, ele é uma base de W. Portanto,