Para o plano de equação reduzida
pi1: 5 x+4 y+10 z-20=0
determine:
(i) o ponto de interseção com o eixo x;
(ii) o ponto de interseção com o eixo y;
(iii) o ponto de interseção com o eixo z;
(iv) a reta de interseção com o plano xy;
(v) a reta de interseção com o plano xz;
(vi) a reta de interseção com o plano yz;
(vii) o esboço do plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano
pi1:5x+4y+10z-20=0
e pede (i)–(iii) os pontos de interseção com os eixos coordenados, (iv)–(vi) as retas de interseção com os planos coordenados e (vii) um esboço do plano. Vamos usar que para achar o intercepto com um eixo anulamos as outras duas coordenadas, e para achar a reta de interseção com um plano coordenado anulamos a coordenada ortogonal a esse plano.

Passo 2

(i) Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0 em pi1
5x-20=0Rightarrow x=4
Logo o ponto é (4,0,0).\n
(ii) Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0
4y-20=0Rightarrow y=5
Logo o ponto é (0,5,0).\n
(iii) Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0
10z-20=0Rightarrow z=2
Logo o ponto é (0,0,2).

Passo 3

(iv) Interseção com o plano xy ( z=0): nesse caso a equação reduz-se a
5x+4y-20=0, z=0
Essa é a reta que passa pelos pontos (4,0,0) e (0,5,0). Em forma paramétrica podemos escrever
x=4-4t, y=5t, z=0, tinR

Passo 4

(v) Interseção com o plano xz ( y=0): na equação de pi1 sobe
5x+10z-20=0, y=0
ou seja x+2z=4. A reta passa por (4,0,0) e (0,0,2). Uma parametrização é
x=4-2s, y=0, z=s, sinR

Passo 5

(vi) Interseção com o plano yz ( x=0): fica
4y+10z-20=0, x=0
ou 2y+5z=10. Essa reta liga (0,5,0) a (0,0,2). Por exemplo, tomando parâmetro u,
x=0, y=5-5u, z=2u, uinR

Passo 6

(vii) Esboço do plano: no primeiro octante, pi1 intercepta os eixos em (4,0,0), (0,5,0) e (0,0,2). Esses três pontos formam um triângulo que é a seção de pi1 com o primeiro octante. O plano é a superfície infinita que contém esse triângulo e se estende além dele.

Resposta

(i) (4,0,0)
(ii) (0,5,0)
(iii) (0,0,2)
(iv) reta em z=0, 5x+4y=20, paramétrica l(x=4-4t,;y=5t,;z=0r)
(v) reta em y=0, x+2z=4, paramétrica l(x=4-2s,;y=0,;z=sr)
(vi) reta em x=0, 2y+5z=10, paramétrica l(x=0,;y=5-5u,;z=2ur)
(vii) triângulo de vértices (4,0,0), (0,5,0), (0,0,2) no primeiro octante, estendendo-se pelo plano dado.

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