Para o plano de equação reduzida
pi2: 3 x+2 z-12=0
determine:
(i) o ponto de interseção com o eixo x;
(ii) o ponto de interseção com o eixo y;
(iii) o ponto de interseção com o eixo z;
(iv) a reta de interseção com o plano xy;
(v) a reta de interseção com o plano xz;
(vi) a reta de interseção com o plano yz;
(vii) o esboço do plano.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi2colon 3x + 2z - 12 = 0 no espaço (x,y,z) e pede:
(i) o ponto de interseção com o eixo x, (ii) com o eixo y, (iii) com o eixo z, (iv) a reta de interseção com o plano xy, (v) com o plano xz, (vi) com o plano yz, e (vii) um esboço do plano. Vamos usar simples substituições de coordenadas nulas e as equações de interseção de planos.

Passo 2

Para a interseção com o eixo x temos y=0 e z=0. Na equação do plano
3x + 2cdot 0 - 12 = 0
segue
3x = 12;Longrightarrow;x = 4
Logo o ponto é (4,0,0).

Passo 3

Para a interseção com o eixo y fazemos x=0 e z=0. A equação fica
3cdot0 + 2cdot0 - 12 = -12 = 0,
que não tem solução. Portanto, o plano não corta o eixo y.

Passo 4

Para a interseção com o eixo z tomamos x=0 e y=0. Então
3cdot0 + 2z - 12 = 0;Longrightarrow;2z = 12;Longrightarrow;z = 6
O ponto é (0,0,6).

Passo 5

A interseção com o plano xy ocorre para z=0. Substituindo em 3x + 2z - 12 = 0
3x - 12 = 0;Longrightarrow;x = 4, y livre
É a reta
(4,y,0)mid yinR

Passo 6

A interseção com o plano xz ocorre para y=0. Mantém-se
3x + 2z - 12 = 0, y=0,
que é a reta do plano xz dada por
(x,0,tfrac12-3x2)mid xinR

Passo 7

A interseção com o plano yz ocorre para x=0. Então
2z - 12 = 0;Longrightarrow;z = 6, y livre,
resultando na reta
(0,y,6)mid yinR

Passo 8

O plano não depende de y, logo é paralelo ao eixo y. Seus traços principais em x e z são os pontos (4,0,0) e (0,0,6). No esboço, desenhe o eixo x até (4,0,0), o eixo z até (0,0,6), junte esses pontos por uma reta no plano xz e depois “puxe” essa reta paralelamente ao eixo y, obtendo o plano.

Resposta

(i) (4,0,0)
(ii) não há interseção
(iii) (0,0,6)
(iv) (4,y,0)mid yinR
(v) (x,0,tfrac12-3x2)mid xinR
(vi) (0,y,6)mid yinR
(vii) plano paralelo ao eixo y passando por (4,0,0) e (0,0,6), esboçado como traço no plano xz extrudado ao longo de y.

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