Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas al forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficienter e, se o sistema for possível, a grau de liberdade.
14. lx1+x2+x3+x4=0 x1+x2+x3-x4=4 x1+x1-x3+x4=-4 x1-x2+x3+x4=2

Passo 1

O sistema é
x1+x2+x3+x4=0, x1+x2+x3-x4=4, x1+x2-x3+x4=-4, x1-x2+x3+x4=2
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss: vamos montar a matriz ampliada, escalonar até forma escada e depois reduzir completamente, para determinar postos e, se houver solução, o grau de liberdade.

Passo 2

Escrevendo a matriz ampliada inicial e eliminando pela primeira linha:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & -1 & 4 1 & 1 & -1 & 1 & -4 1 & -1 & 1 & 1 & 2 ) ;xrightarrow,R2>=ts R2-R1,,R3>=ts R3-R1,,R4>=ts R4-R1,; (cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 4 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & -2 & 0 & 0 & 2 )
Agora trocamos a linha 2 com a linha 4 para aparecer o pivô em coluna 2:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & -2 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & -2 & 4 )
Esta é a forma escada (row echelon form).

Passo 3

Passamos agora à forma totalmente reduzida (RREF). Primeiro normalizamos cada linha-pivô dividindo por -2:
(cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 )
Em seguida eliminamos acima dos pivôs na primeira linha:
R1>=ts R1-R2-R3-R4 ;Longrightarrow; (cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 1 & -2 )
E esta é a matriz linha reduzida.

Passo 4

Os pivôs ocupam as quatro primeiras colunas, logo
posto da matriz de coeficientes=4, posto da ampliada=4
4 incógnitas e o posto é 4, portanto o grau de liberdade é
4 - 4 = 0
e o sistema é possível e determinado.

Resposta

posto (A)=4, posto (Aampliada)=4, grau de liberdade =0.
Solução única:
x1=1, x2=-1, x3=2, x4=-2

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