Um plano infinito com densidade de carga sigma uniforme é posicionado no plano y z, em x=0, e uma carga puntiforme q é posicionada sobre o eixo x na coordenada x=a. Determine o potencial em um ponto P(x, y, z), situado a uma distância r da carga puntiforme.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre encontrar o potencial elétrico em um ponto P(x, y, z) causado por duas fontes: uma carga pontual localizada no eixo x na posição e um plano infinito com densidade de carga posicionado no plano (ou seja, em ). A matéria que vamos usar aqui é Eletrostática, especificamente os conceitos de potencial elétrico devido a uma carga pontual e a um plano infinito carregado. Para resolver, vamos precisar das fórmulas de potencial elétrico para esses dois casos e somá-los, já que os potenciais se superpõem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o potencial elétrico devido à carga pontual Vq = 14pi varepsilon0 cdot qr no ponto P. A fórmula do potencial elétrico r = raiz(x - a)^2 + y^2 + z^2 gerado por uma carga pontual é:
Aqui, é a permissividade do vácuo e é a distância entre a carga e o ponto P. No nosso caso, a carga está em e o ponto P está em , então a distância é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico devido ao plano infinito com densidade de carga Vplano = sigma2varepsilon0 cdot x . O potencial gerado por um plano infinito carregado é dado por:
Aqui, é a distância perpendicular do ponto P ao plano, que no nosso caso é simplesmente a coordenada do ponto P, já que o plano está em .

Passo 4

Como o potencial é uma grandeza escalar, podemos simplesmente somar os potenciais gerados por cada fonte para encontrar o potencial total Vtotal = Vq + Vplano no ponto P:
Vtotal = 14pi varepsilon0 cdot qraiz(x - a)^2 + y^2 + z^2 + sigma2varepsilon0 cdot x
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

O potencial no ponto V(x, y, z) = q4pi varepsilon0 raiz(x - a)^2 + y^2 + z^2 + sigma x2varepsilon0 é dado por:

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