Um plano infinito com densidade de carga sigma uniforme é posicionado no plano yz , em x=0, e uma carga puntiforme q é posicionada sobre o eixo x na coordenada x=a. Determine o potencial em um ponto P(x, y, z), situado a uma distância r da carga puntiforme.
8. Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma carga total Q , que está uniformemente distribuída pelo volume da esfera. a) Encontre o potencial elétrico em um ponto fora da esfera ( r>R ). Considere o po-
tencial elétrico como sendo zero em r=infty. b) Encontre o potencial em um ponto dentro da esfera carregada ( r ).

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é o potencial elétrico de uma esfera sólida isolante de raio R, com carga total Q espalhada uniformemente pelo volume. A gente vai usar dois conceitos principais:
  1. Lei de Gauss pra achar o campo elétrico E® lá fora (r>R) e lá dentro (r<R).
  2. A relação entre campo e potencial:
V(r) = -integralinfty^r Ecdot dl
Como o aluno é iniciante, vou mostrar cada coisinha no detalhe.

Passo 2

Campo elétrico fora da esfera (r>R)
  1. Escolhe uma superfície gaussiana esférica de raio r>R.
  2. A carga total enclausurada é Q.
  3. Pela lei de Gauss:
Phi = oint Ecdot dA = E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0
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E(r) = 14pivarepsilon0,Qr^2 (r>R)

Passo 3

Potencial fora da esfera (r>R)
Usamos
V(r) = -integralinfty^r E(r'),dr'
Como E é radial e positivo no sentido “de r pra fora”, fica
V(r) = -integralinfty^r 14pivarepsilon0Qr'^2,dr' = 14pivarepsilon0Qr

Passo 4

Campo elétrico dentro da esfera (r<R)
  1. Agora a superfície gaussiana é raio r< R.
  2. A carga interna é proporcional ao volume:
Qrm int = Q;tfrac43pi r^3tfrac43pi R^3 = Q,r^3R^3
  1. Pela lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = Qrm intvarepsilon0 ;Longrightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0,Q,rR^3 (r

Passo 5

Potencial dentro da esfera (r<R)
Temos que integrar do infinito até r, mas dividimos em dois trechos: de ∞ até R (onde usamos E fora) e de R até r (onde usamos E dentro).
V(r) = -l[integralinfty^RErm fora(r'),dr' + integralR^rErm dentro(r'),dr'r]
  1. ∫∞→R do trecho externo já fizemos: dá -integralR^r 14pivarepsilon0Q,r'R^3,dr' = -Q4pivarepsilon0R^3,r^2 - R^22 .
  2. Agora o interno:
V(r) = 14pivarepsilon0QR - Q4pivarepsilon0R^3,r^2 - R^22 = 14pivarepsilon0;Q2R^3,(3R^2 - r^2)
Somando com V®:

Resposta

a) Para r > R:
boxedV(r) = 14pivarepsilon0,Qr
b) Para r < R:
boxedV(r) = 14pivarepsilon0,Q2R^3,l(3R^2 - r^2r)

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