Um plano infinito com densidade de carga
uniforme é posicionado no plano yz , em
, e uma carga puntiforme q é posicionada sobre o eixo x na coordenada
. Determine o potencial em um ponto
, situado a uma distância r da carga puntiforme.
8. Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma carga total Q , que está uniformemente distribuída pelo volume da esfera. a) Encontre o potencial elétrico em um ponto fora da esfera (
). Considere o po-
tencial elétrico como sendo zero em
. b) Encontre o potencial em um ponto dentro da esfera carregada (
).
8. Uma esfera sólida isolante de raio R tem uma carga total Q , que está uniformemente distribuída pelo volume da esfera. a) Encontre o potencial elétrico em um ponto fora da esfera (
tencial elétrico como sendo zero em
Passo 1
Beleza, o que a questão pede é o potencial elétrico de uma esfera sólida isolante de raio R, com carga total Q espalhada uniformemente pelo volume. A gente vai usar dois conceitos principais:
- Lei de Gauss pra achar o campo elétrico E® lá fora (r>R) e lá dentro (r<R).
- A relação entre campo e potencial:
Como o aluno é iniciante, vou mostrar cada coisinha no detalhe.
Passo 2
Campo elétrico fora da esfera (r>R)
- Escolhe uma superfície gaussiana esférica de raio r>R.
- A carga total enclausurada é Q.
- Pela lei de Gauss:
Logo
Passo 3
Potencial fora da esfera (r>R)
Usamos
Usamos
Como E é radial e positivo no sentido “de r pra fora”, fica
Passo 4
Campo elétrico dentro da esfera (r<R)
- Agora a superfície gaussiana é raio r< R.
- A carga interna é proporcional ao volume:
- Pela lei de Gauss:
Passo 5
Potencial dentro da esfera (r<R)
Temos que integrar do infinito até r, mas dividimos em dois trechos: de ∞ até R (onde usamos E fora) e de R até r (onde usamos E dentro).
Temos que integrar do infinito até r, mas dividimos em dois trechos: de ∞ até R (onde usamos E fora) e de R até r (onde usamos E dentro).
- ∫∞→R do trecho externo já fizemos: dá
. - Agora o interno:
Somando com V®:
Resposta
a) Para r > R:
b) Para r < R: