Verifique se as séries abaixo convergem:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{n}{10}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
O conteúdo envolvido é o teste da divergência (termo geral) e o teste da raiz para séries.

Passo 2

Para que uma série convirja, é necessário que o termo geral
a_n = (-1)^{n}\Bigl(\tfrac{n}{10}\Bigr)^{n}
tenda a zero. Mas temos
|a_n| = \Bigl(\frac{n}{10}\Bigr)^{n}.
Como \frac{n}{10}>1 para n\ge 11, o valor de |a_n| cresce sem limite, logo
\lim_{n\to\infty}|a_n| = +\infty.
Portanto, \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, e a série diverge pelo critério da divergência.

Passo 3

Para ilustrar com o teste da raiz de Cauchy, calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{10} =+\infty>1.
Isso confirma que a série não converge nem absolutamente, nem condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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