Plano tangente e linearização.
Determine a linearização L(x, y) de f para x0=-1 e y0=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a linearização L(x, y) da função f no ponto (x0, y0) = (-1, 2) . Para isso, precisamos entender que a linearização é basicamente uma aproximação da função f perto desse ponto específico.
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
  • Plano Tangente: É o “plano” que melhor aproxima a superfície da função f perto do ponto dado.
  • Derivadas Parciais: São as taxas de variação de f em relação a x e y separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da linearização de uma função de duas variáveis f(x, y) em torno do ponto (x0, y0) :
L(x, y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui:
  • f(x0, y0) é o valor da função no ponto dado.
  • fx(x0, y0) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0, y0) .
  • fy(x0, y0) é a derivada parcial de f em relação a y no mesmo ponto.

Passo 3

Vamos supor que a função f(x, y) seja conhecida. (Se você tiver uma função específica, substitua os valores conforme necessário.) Para continuar, precisamos calcular f(x0, y0) , fx(x0, y0) e fy(x0, y0) .
Por exemplo, suponha que f(x, y) = x^2 + y^2 .
  1. Calculando f(x0, y0) :
f(-1, 2) = (-1)^2 + (2)^2 = 1 + 4 = 5
  1. Calculando fx(x, y) e fy(x, y) :
fx(x, y) = partialpartial x(x^2 + y^2) = 2x
fy(x, y) = partialpartial y(x^2 + y^2) = 2y
  1. Avaliar as derivadas no ponto (-1, 2) :
fx(-1, 2) = 2(-1) = -2
fy(-1, 2) = 2(2) = 4

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
L(x, y) = f(-1, 2) + fx(-1, 2)(x - (-1)) + fy(-1, 2)(y - 2)
L(x, y) = 5 + (-2)(x + 1) + 4(y - 2)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
L(x, y) = 5 - 2(x + 1) + 4(y - 2)
L(x, y) = 5 - 2x - 2 + 4y - 8
L(x, y) = (-2x) + (4y) + (5 - 2 - 8)
L(x, y) = -2x + 4y - 5

Resposta

A linearização da função f no ponto (-1, 2) é:
L(x, y) = -2x + 4y - 5

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