Plano tangente e linearização.
Determine a linearização
de
para
e
.
Determine a linearização
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a linearização
da função
no ponto
. Para isso, precisamos entender que a linearização é basicamente uma aproximação da função
perto desse ponto específico.
Vamos precisar dos seguintes conceitos:
- Plano Tangente: É o “plano” que melhor aproxima a superfície da função
perto do ponto dado. - Derivadas Parciais: São as taxas de variação de
em relação a e separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da linearização de uma função de duas variáveis
em torno do ponto
:
Aqui:
-
é o valor da função no ponto dado. -
é a derivada parcial de em relação a no ponto . -
é a derivada parcial de em relação a no mesmo ponto.
Passo 3
Vamos supor que a função
seja conhecida. (Se você tiver uma função específica, substitua os valores conforme necessário.) Para continuar, precisamos calcular
,
e
.
Por exemplo, suponha que
.
- Calculando
:
- Calculando
e :
- Avaliar as derivadas no ponto
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da linearização:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A linearização da função
no ponto
é: