Nos problemas abaixo, resolva a equação.
\left(x+x y^{2}\right) d x+e{x{2}} y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(x + x,y^2r),dx + e^x^2,y,dy = 0
Que é de primeira ordem e não é exata. Vamos reescrever em forma de derivada dy/dx e usar a substituição v = y^2 para transformar em uma equação linear em v(x).

Passo 2

Dividindo ambos os lados por dx e isolando dy/dx, obtemos
e^x^2,y,dydx + xl(1 + y^2r) = 0 ;;Longrightarrow;; dydx = -xl(1+y^2r)e^x^2,y

Passo 3

Defina v = y^2. Então
dvdx = 2,y,dydx = 2,y!l(-x(1+y^2)e^x^2,yr) = -2x,(1+v)e^x^2
Logo a equação para v é linear:
dvdx + 2xe^x^2,v = -2xe^x^2

Passo 4

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = exp!l(integral 2xe^x^2,dxr) = exp!l(integral 2x,e^-x^2,dxr)
Fazendo a substituição auxiliar u = e^-x^2, du = -2x e^-x^2,dx, vem
integral 2x,e^-x^2,dx = -integral du = -u = -e^-x^2,
portanto
mu(x) = e^-e^-x^2

Passo 5

Multiplicamos a equação linear em v por mu(x):
ddxl(v,e^-e^-x^2r) = -2xe^x^2,e^-e^-x^2
De novo usando u=e^-x^2 e du=-2x e^-x^2,dx, o lado direito é
-2xe^x^2,e^-e^-x^2,dx = e^-e^-x^2,du,
cuja integral é
integral e^-e^-x^2,du = -e^-u + C = -e^-e^-x^2 + C
Logo
v,e^-e^-x^2 = -e^-e^-x^2 + C

Passo 6

Multiplicando por e^e^-x^2 e lembrando v=y^2, obtemos
y^2 = -1 + C,e^e^-x^2 ;;Longrightarrow;; y^2 + 1 = C,e^e^-x^2

Resposta

A solução geral é
boxedy^2 + 1 = C,expl(e^-x^2r),
onde C é constante de integração.

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