Nos problemas abaixo, resolva a equação.
\left(x+x y^{2}\right) d x+e{x{2}} y d y=0
\left(x+x y^{2}\right) d x+e{x{2}} y d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Que é de primeira ordem e não é exata. Vamos reescrever em forma de derivada
e usar a substituição
para transformar em uma equação linear em
.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
e isolando
, obtemos
Passo 3
Defina
. Então
Logo a equação para
é linear:
Passo 4
O fator integrante
satisfaz
Fazendo a substituição auxiliar
,
, vem
portanto
Passo 5
Multiplicamos a equação linear em
por
:
De novo usando
e
, o lado direito é
cuja integral é
Logo
Passo 6
Multiplicando por
e lembrando
, obtemos
Resposta
A solução geral é
onde
é constante de integração.