Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
y{\prime}=x{3}(1-y), y(0)=3

Passo 1

O problema é um PVI (problema de valor inicial) para a EDO de primeira ordem
y' = x^3,(1 - y),
com a condição y(0)=3. O conteúdo aqui é a separação de variáveis para encontrar a solução geral e depois ajustar a constante usando y(0)=3.

Passo 2

Separe as variáveis colocando todos os y de um lado e todos os x do outro:
dy1 - y = x^3,dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral dy1 - y = integral x^3,dx
no lado esquerdo fazemos a troca u = 1-y, du=-dy, resultando em
-lnlvert 1 - yrvert = x^44 + C

Passo 4

Reescreva a constante e exponencie para isolar y. Seja C'=-C, então
lnlvert 1 - yrvert = -x^44 + C' Longrightarrow 1 - y = K,e^-x^4/4,
onde K = e^C' pode ser positivo ou negativo.

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=3 para determinar K:
1 - y(0) = 1 - 3 = -2 ;Longrightarrow; K = -2
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1 - y = -2,e^-x^4/4 Longrightarrow y = 1 + 2,e^-x^4/4

Resposta

y(x) = 1 + 2,e^-x^4/4

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