Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\frac{d y}{d x}=\left(1+y^{2}\right) \tan x, y(0)=\sqrt{3}

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydx = l(1+y^2r)tan x, y(0)=raiz3
Isso é uma equação diferencial ordinária separável: podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro e depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dy1+y^2 = tan x,dx
Agora integramos ambos os lados:
integral dy1+y^2 = integral tan x,dx

Passo 3

Usamos que
integral dy1+y^2 = arctan y e integral tan x,dx = -lnl|cos xr| + C
Logo obtemos a relação
arctan y = -lnl|cos xr| + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=raiz3. Quando x=0 temos cos0=1, então
arctanl(raiz3r) = pi3 = -ln|1| + C = C
Portanto C=pi3 e
arctan y = pi3 - lnl|cos xr|
Isolando y obtemos
y(x) = tan!l(pi3 - ln!l|cos xr|r)

Resposta

y(x) = tan!l(pi3 - ln!l(cos xr)r)

Exercícios relacionados