Num plano α,temos dois vetores a e b de mesma origem formando um ângulo θ. Se os módulos de a e de b são, respectivamente, iguais a 6 u e 8 u, determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes: θ = 0°; θ = 180°; θ = 90° e θ = 60°.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! Temos dois vetores, a e b, que partem da mesma origem e formam um ângulo θ. Os módulos de a e b são 6 unidades (u) e 8 unidades (u), respectivamente. Queremos descobrir o módulo do vetor soma a + b para diferentes valores de θ: 0°, 180°, 90° e 60°. Para isso, vamos usar a fórmula do módulo da soma de dois vetores que envolve trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o módulo da soma de dois vetores. Se a e b formam um ângulo θ, o módulo de a + b é dado por:
|a + b| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|costheta
Aqui, |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b, e costheta é o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada valor de θ.

a) Quando θ = 0°

Se o ângulo θ é 0°, significa que os vetores estão na mesma direção. O cosseno de 0° é 1.
|a + b| = raiz6^2 + 8^2 + 2 times 6 times 8 times cos0° = raiz36 + 64 + 96 = raiz196 = 14 , u

b) Quando θ = 180°

Se o ângulo θ é 180°, os vetores estão em direções opostas. O cosseno de 180° é -1.
|a + b| = raiz6^2 + 8^2 + 2 times 6 times 8 times cos180° = raiz36 + 64 - 96 = raiz4 = 2 , u

c) Quando θ = 90°

Se o ângulo θ é 90°, os vetores são perpendiculares entre si. O cosseno de 90° é 0.
|a + b| = raiz6^2 + 8^2 + 2 times 6 times 8 times cos90° = raiz36 + 64 + 0 = raiz100 = 10 , u

d) Quando θ = 60°

Se o ângulo θ é 60°, o cosseno de 60° é 0,5.
|a + b| = raiz6^2 + 8^2 + 2 times 6 times 8 times cos60° = raiz36 + 64 + 48 = raiz148 approx 12,17 , u

Resposta

O módulo do vetor soma a + b para cada ângulo θ é:
  • θ = 0°: 14 u
  • θ = 180°: 2 u
  • θ = 90°: 10 u
  • θ = 60°: ≈ 12,17 u

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