Num plano α,temos dois vetores a e b de mesma origem formando um ângulo θ. Se os módulos de a e de b são, respectivamente, iguais a 6 u e 8 u, determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes: θ = 0°; θ = 180°; θ = 90° e θ = 60°.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! Temos dois vetores, a e b, que partem da mesma origem e formam um ângulo θ. Os módulos de a e b são 6 unidades (u) e 8 unidades (u), respectivamente. Queremos descobrir o módulo do vetor soma a + b para diferentes valores de θ: 0°, 180°, 90° e 60°. Para isso, vamos usar a fórmula do módulo da soma de dois vetores que envolve trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o módulo da soma de dois vetores. Se a e b formam um ângulo θ, o módulo de a + b é dado por:
Aqui,
e
são os módulos dos vetores a e b, e
é o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para cada valor de θ.
a) Quando θ = 0°
Se o ângulo θ é 0°, significa que os vetores estão na mesma direção. O cosseno de 0° é 1.
b) Quando θ = 180°
Se o ângulo θ é 180°, os vetores estão em direções opostas. O cosseno de 180° é -1.
c) Quando θ = 90°
Se o ângulo θ é 90°, os vetores são perpendiculares entre si. O cosseno de 90° é 0.
d) Quando θ = 60°
Se o ângulo θ é 60°, o cosseno de 60° é 0,5.
Resposta
O módulo do vetor soma a + b para cada ângulo θ é:
- θ = 0°: 14 u
- θ = 180°: 2 u
- θ = 90°: 10 u
- θ = 60°: ≈ 12,17 u