No plano:
Para que valores de k e l as retas, 2x+ky-1=0 e kx+8y+l=0, coincidem;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas no plano:
  1. 2x + ky - 1 = 0
  2. kx + 8y + l = 0
A pergunta é: para quais valores de k e l essas duas retas são a mesma linha, ou seja, coincidem? Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas coincidem se as suas equações forem múltiplos uma da outra. Isso significa que existe um número diferente de zero, que vamos chamar de lambda, tal que cada coeficiente da primeira equação seja igual ao coeficiente correspondente da segunda equação multiplicado por lambda.
Então, comparando as duas equações:
2x + ky - 1 = 0 kx + 8y + l = 0
Temos que:
k = lambda cdot 2 (coeficiente de x) 8 = lambda cdot k (coeficiente de y) l = lambda cdot (-1) (termo constante)

Passo 3

Vamos resolver essas igualdades passo a passo. Começando pela primeira:
k = lambda cdot 2 Rightarrow lambda = k2
Agora, substituímos lambda na segunda equação:
8 = lambda cdot k = (k2) cdot k = k^22
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
k^2 = 16 Rightarrow k = pm 4

Passo 4

Agora que temos os possíveis valores de k, vamos encontrar os respectivos valores de lambda:
  • Se k = 4:
lambda = 42 = 2
  • Se k = -4:
lambda = -42 = -2

Passo 5

Com lambda determinado, vamos achar l usando a terceira equação:
l = lambda cdot (-1)
  • Se lambda = 2:
l = 2 cdot (-1) = -2
  • Se lambda = -2:
l = -2 cdot (-1) = 2

Resposta

Os valores que fazem as duas retas coincidirem são:
  • k = 4 e l = -2
  • k = -4 e l = 2

Exercícios relacionados