No plano:
Para que valores de k e l as retas, 2x+ky-1=0 e kx+8y+l=0, se intersectam

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano, com parâmetros k e l:
2x + k,y - 1 = 0 e k,x + 8,y + l = 0
Queremos saber para quais valores de k e l essas retas possuem ponto de interseção. Esse problema é equivalente a estudar as soluções do sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Vamos usar a condição de existência de solução única (determinante da matriz de coeficientes) e depois analisar o caso degenerado.

Passo 2

Escrevendo o sistema na forma padrão, temos
2x + k,y = 1, k,x + 8,y = -,l,
cuja matriz dos coeficientes é
A = 2 & k k & 8
Para que exista exatamente um ponto de interseção (solução única), precisamos que
det(A)neq 0

Passo 3

Calculamos o determinante:
det(A) = 2cdot 8 ;-; kcdot k = 16 - k^2
A condição det(A)neq 0 é
16 - k^2 neq 0 ;Long<=ftrightarrow; k^2 neq 16 ;Long<=ftrightarrow; k neq pm 4
Portanto, se k neq pm 4, o sistema tem solução única para qualquer l, ou seja, as retas se intersectam num ponto.

Passo 4

Quando k = pm 4, temos det(A)=0 e as retas são paralelas ou coincidentes.
  • Se k=4, as retas são 2x+4y-1=0 e 4x+8y+l=0 Multiplicando a primeira por 2 obtém-se 4x+8y-2=0.
    bul<=t Se l=-2, a segunda é a mesma da primeira e há infinitos pontos de interseção.
    bul<=t Se lneq -2, são paralelas sem interseção.
  • Se k=-4, a análise análoga dá coincidência quando l=2 e paralelismo sem ponto quando lneq 2.

Resposta

As retas se intersectam num único ponto se, e só se,
k neq pm 4,
sem restrição sobre l.

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