No plano:
Para que valores de
e
as retas,
e
, se intersectam
Para que valores de
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano, com parâmetros
e
:
Queremos saber para quais valores de
e
essas retas possuem ponto de interseção. Esse problema é equivalente a estudar as soluções do sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Vamos usar a condição de existência de solução única (determinante da matriz de coeficientes) e depois analisar o caso degenerado.
Passo 2
Escrevendo o sistema na forma padrão, temos
cuja matriz dos coeficientes é
Para que exista exatamente um ponto de interseção (solução única), precisamos que
Passo 3
Calculamos o determinante:
A condição
é
Portanto, se
, o sistema tem solução única para qualquer
, ou seja, as retas se intersectam num ponto.
Passo 4
Quando
, temos
e as retas são paralelas ou coincidentes.
- Se
, as retas são Multiplicando a primeira por obtém-se .
Se , a segunda é a mesma da primeira e há infinitos pontos de interseção.
Se , são paralelas sem interseção. - Se
, a análise análoga dá coincidência quando e paralelismo sem ponto quando .
Resposta
As retas se intersectam num único ponto se, e só se,
sem restrição sobre
.