No plano:
Para que valores de k e l as retas, 2x+ky-1=0 e kx+8y+l=0, são paralelas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no plano:
  • Primeira reta: 2x + ky - 1 = 0
  • Segunda reta: kx + 8y + l = 0
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de k e l essas duas retas são paralelas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre inclinação de retas e condições para paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que duas retas são paralelas se e somente se tiverem o mesmo coeficiente angular (inclinação). O coeficiente angular de uma reta na forma Ax + By + C = 0 é -AB.
Vamos encontrar o coeficiente angular de cada reta.

Passo 3

Para a primeira reta 2x + ky - 1 = 0, o coeficiente angular é:
m1 = -2k
Para a segunda reta kx + 8y + l = 0, o coeficiente angular é:
m2 = -k8

Passo 4

Para que as retas sejam paralelas, os coeficientes angulares devem ser iguais:
-2k = -k8
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de k.

Passo 5

Primeiro, podemos eliminar os sinais negativos:
2k = k8
Agora, multiplicamos ambos os lados por 8k para eliminar as frações:
2 cdot 8 = k cdot k
16 = k^2

Passo 6

Resolvendo k^2 = 16, temos:
k = raiz16 ou k = -raiz16
k = 4 ou k = -4

Passo 7

Agora que temos os valores de k, precisamos determinar os valores correspondentes de l para que as retas sejam paralelas.
Observamos que o valor de l não afeta o coeficiente angular, mas apenas a posição das retas. Portanto, para que as retas sejam realmente paralelas e distintas, l pode ser qualquer número real. Se l for tal que as retas coincidam, elas não são apenas paralelas, mas sim a mesma reta.

Passo 8

Concluímos que para as retas serem paralelas, k deve ser igual a 4 ou -4, e l pode ser qualquer valor real que não faça com que as retas coincidam.

Resposta

As retas são paralelas para k = 4 ou k = -4, e l pode ser qualquer número real.

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