Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de .
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
é subespaço de
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
- o vetor zero de
está em , -
é fechado sob soma de vetores, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Se for subespaço, depois determinamos um conjunto gerador, uma base e a dimensão de.
Passo 2
Verificação das três condições de subespaço:
- O vetor zero de
é . Como com , então . - Se
e estão em , sua soma é
e como
, temos
.
- Se
e , então
e como
, segue
.
Logo satisfaz as três condições e é subespaço de
.
Logo
Passo 3
Conjunto gerador de
:
Todo vetor de tem forma
.
Portanto
gera .
Todo vetor de
Portanto
gera
Passo 4
Base e dimensão de
:
- A única geradora
não é combinação linear do vazio, logo é linearmente independente. - Assim
é base de . - Como há exatamente um vetor na base,
.
Resposta
Conjunto gerador:
Base:
Dimensão: