Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(x, 0,0) ; x \in \mathbb{R}\} \quad V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \displaystyle S=\{(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}\}
é subespaço de \displaystyle V=\mathbb{R}^3.
Para isso vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos checar que
  1. o vetor zero de V está em S,
  2. S é fechado sob soma de vetores,
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.
    Se for subespaço, depois determinamos um conjunto gerador, uma base e a dimensão de S.

Passo 2

Verificação das três condições de subespaço:
  • O vetor zero de \mathbb{R}^3 é (0,0,0). Como (0,0,0)=(0,0,0) com x=0, então (0,0,0)\in S.
  • Se (x_1,0,0) e (x_2,0,0) estão em S, sua soma é
(x_1,0,0)+(x_2,0,0)=(x_1+x_2,0,0),
e como x_1+x_2\in\mathbb{R}, temos (x_1+x_2,0,0)\in S.
  • Se (x,0,0)\in S e \lambda\in\mathbb{R}, então
\lambda\,(x,0,0)=(\lambda x,0,0),
e como \lambda x\in\mathbb{R}, segue (\lambda x,0,0)\in S.
Logo S satisfaz as três condições e é subespaço de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Conjunto gerador de S:
Todo vetor de S tem forma (x,0,0)=x\,(1,0,0).
Portanto \{(1,0,0)\}
gera S.

Passo 4

Base e dimensão de S:
  • A única geradora (1,0,0) não é combinação linear do vazio, logo é linearmente independente.
  • Assim \{(1,0,0)\} é base de S.
  • Como há exatamente um vetor na base, \dim S = 1.

Resposta

S é subespaço de \mathbb{R}^3.
Conjunto gerador: \{(1,0,0)\}.
Base: \{(1,0,0)\}.
Dimensão: 1.

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