Seja X uma variável aleatória contínua com função de probabilidade dada por:
f(x)=l 0, para x<0 k x^2, para 0 <= x <= 1 0, para x>1
onde k é uma constante. Pede-se:
c) Calcule a probabilidade P(0,5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de probabilidade definida por:
X
Queremos calcular a probabilidade $ P(0,5 < X \leq 1) $. Para isso, vamos precisar saber o valor da constante $ k $ e usar conceitos de cálculo de integrais para probabilidades contínuas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral da função de probabilidade $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
k
Como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 1 $, podemos simplificar a integral para:
f(x)
Vamos calcular essa integral:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1
Então:
f(x) = 0

Passo 3

Agora que sabemos que $ k = 3 $, a função de probabilidade fica:
k = 3
Queremos calcular $ P(0,5 < X \leq 1) $, que para uma variável contínua é dado pela integral de $ f(x) $ entre 0,5 e 1:
f(x) = 0, & para x < 0 3 x^2, & para 0 <= x <= 1 0, & para x > 1

Passo 4

Vamos calcular a integral:
integral0,5^1 3 x^2 , dx = 3 integral0,5^1 x^2 , dx = 3 [ x^33 ]0,5^1 = [ x^3 ]0,5^1 = 1^3 - (0,5)^3 = 1 - 0,125 = 0,875

Resposta

A probabilidade $ P(0,5 < X \leq 1) $ é igual a $ 0,875 $.

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