Em uma plantação de Eucalipto,
das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
a) a função de probabilidade da variável X: número de árvores atacadas por formigas;
a) a função de probabilidade da variável X: número de árvores atacadas por formigas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A questão pede para encontrar a função de probabilidade da variável
, que representa o número de árvores atacadas em uma amostra de 5 árvores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da distribuição binomial. Temos:
- Número de tentativas (
): Aqui, é o número de árvores na amostra, que é 5. - Probabilidade de sucesso (
): Sucesso nesse contexto é uma árvore ser atacada, então . - Probabilidade de fracasso (
): É a probabilidade de uma árvore não ser atacada, então .
Passo 3
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o número de combinações de elementos tomados a . -
é o número de sucessos que queremos calcular (neste caso, de 0 a 5). -
é a probabilidade de sucesso elevada à quantidade de sucessos. -
é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.
Passo 4
Vamos calcular a função de probabilidade para cada possível valor de
(de 0 a 5):
Isso significa que para cada
de 0 a 5, substituímos na fórmula para encontrar a probabilidade correspondente.
Passo 5
Vamos exemplificar calculando
:
Calculando as combinações:
Então:
Resposta
A função de probabilidade da variável
é dada por: