Em uma plantação de Eucalipto, 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
a) a função de probabilidade da variável X: número de árvores atacadas por formigas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A questão pede para encontrar a função de probabilidade da variável , que representa o número de árvores atacadas em uma amostra de 5 árvores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da distribuição binomial. Temos:
  • Número de tentativas ( ): Aqui, é o número de árvores na amostra, que é 5.
  • Probabilidade de sucesso ( ): Sucesso nesse contexto é uma árvore ser atacada, então .
  • Probabilidade de fracasso ( ): É a probabilidade de uma árvore não ser atacada, então .

Passo 3

A função de probabilidade da distribuição binomial é dada pela fórmula:
P(X = k) = binomnk times p^k times q^n - k
Onde:
  • é o número de combinações de elementos tomados a .
  • é o número de sucessos que queremos calcular (neste caso, de 0 a 5).
  • é a probabilidade de sucesso elevada à quantidade de sucessos.
  • é a probabilidade de fracasso elevada ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular a função de probabilidade para cada possível valor de P(X = k) = binom5k times (0.40)^k times (0.60)^5 - k (de 0 a 5):
Isso significa que para cada de 0 a 5, substituímos na fórmula para encontrar a probabilidade correspondente.

Passo 5

Vamos exemplificar calculando P(X = 2) = binom52 times (0.40)^2 times (0.60)^3 :
binom52 = 5!2!(5-2)! = 10
Calculando as combinações:
P(X = 2) = 10 times 0.16 times 0.216 = 10 times 0.03456 = 0.3456
Então:

Resposta

A função de probabilidade da variável P(X = k) = binom5k times (0.40)^k times (0.60)^5 - k para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 é dada por:

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