Seja X uma variável aleatória contínua com função de probabilidade dada por:
f(x)=l 0, para x<0 k x^2, para 0 <= x <= 1 0, para x>1
onde k é uma constante. Pede-se:
e) Calcule a média e a variância de X, usando as fórmulas a seguir:
& E(X)=mu=integral-infty^infty x f(x) d x e sigma^2=integral-infty^infty(x-mu)^2 f(x) d x & ou sigma^2=E(X^2)-mu^2 onde E(X^2)=integral-infty^infty x^2 f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com a função de densidade de probabilidade $ f(x) $. A gente precisa calcular a média $ \mu = E(X) $ e a variância $ \sigma^2 $ dessa variável. Para isso, vamos usar as fórmulas de integração que envolvem $ f(x) $. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor da constante $ k $ na função $ f(x) $. Sabemos que a integral de toda a função de densidade sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
k
Mas, olhando a função $ f(x) $, ela é zero fora do intervalo f(x) . Então, só precisamos integrar de 0 a 1:
integral-infty^infty f(x) , dx = 1
Vamos resolver essa integral:
f(x)
Então, isolando $ k $:
[0, 1]

Passo 3

Agora que temos $ k = 3 $, vamos calcular a média $ \mu = E(X) $. A fórmula para a média é:
k = 3
Mais uma vez, como $ f(x) $ é zero fora de mu = E(X) , a integral fica:
mu = integral-infty^infty x f(x) , dx
Calculando a integral:
f(x)
Então, a média $ \mu $ é:
[0, 1]

Passo 4

Agora, vamos calcular $ E(X^{2}) $, que é a esperada de $ X^{2} $. A fórmula é:
E(X^2)
Novamente, só precisamos integrar de 0 a 1:
X^2
Calculando a integral:
E(X^2) = integral-infty^infty x^2 f(x) , dx
Então, $ E(X^{2}) $ é:
E(X^2) = integral0^1 x^2 cdot 3x^2 , dx = 3 integral0^1 x^4 , dx

Passo 5

Com $ \mu = \frac{3}{4} $ e $ E(X^{2}) = \frac{3}{5} $, podemos calcular a variância $ \sigma^{2} $ usando a fórmula:
mu = 34
Substituindo os valores:
E(X^2) = 35
Para fazer essa subtração, vamos encontrar um denominador comum, que é 80:
sigma^2

Resposta

A média de $ X $ é $ \mu = \frac{3}{4} $ e a variância é $ \sigma^{2} = \frac{3}{80} $.

Exercícios relacionados