Em uma plantação de Eucalipto, 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
e) a esperança, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação e X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A gente tirou, de maneira aleatória, uma amostra de 5 árvores. A pergunta pede para a gente calcular a esperança, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação da variável aleatória X, que representa o número de árvores atacadas na amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a esperança (ou valor esperado). Na estatística, a esperança é como a média esperada dos resultados se repetirmos o experimento muitas vezes. Para uma distribuição binomial, que é o caso aqui, a fórmula da esperança é:
E(X) = n times p
onde:
  • n é o número de tentativas (neste caso, 5 árvores),
  • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (neste caso, 0,4 ou 40%).
Calculando:
E(X) = 5 times 0.4 = 2
Então, a esperança é 2. Isso significa que, em média, esperamos que 2 das 5 árvores estejam sendo atacadas por formigas.

Passo 3

Agora, vamos para a variância, que mede a dispersão dos valores em torno da esperança. Para a distribuição binomial, a fórmula é:
Var(X) = n times p times (1 - p)
Substituindo os valores:
Var(X) = 5 times 0.4 times (1 - 0.4) = 5 times 0.4 times 0.6 = 1.2
A variância é 1.2, o que nos dá uma ideia de quão distribuídos os valores de X estão em torno da esperança.

Passo 4

O próximo passo é calcular o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da variância. Ele também mede a dispersão, mas na mesma unidade da variável original, facilitando a interpretação.
sigmaX = raizVar(X) = raiz1.2 approx 1.095
Portanto, o desvio-padrão é aproximadamente 1.095.

Passo 5

Por fim, vamos calcular o coeficiente de variação, que é uma medida relativa de dispersão. Ele é calculado dividindo o desvio-padrão pela esperança e geralmente é expresso em porcentagem.
CV = ( sigmaXE(X) ) times 100% = ( 1.0952 ) times 100% approx 54.75%
Isso significa que o desvio-padrão representa aproximadamente 54.75% da esperança.

Resposta

  • Esperança (E(X)): 2
  • Variância (Var(X)): 1.2
  • Desvio-padrão ( sigmaX): 1.095
  • Coeficiente de variação (CV): 54.75%

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