Em uma plantação de Eucalipto,
das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
c) a distribuição acumulada de probabilidades
nas tabelas acima e também um gráfico
c) a distribuição acumulada de probabilidades
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A gente vai tirar uma amostra de 5 árvores aleatoriamente e precisa apresentar a distribuição acumulada de probabilidades $ F(X = x_i) $. Isso envolve entender um pouquinho de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é usada quando temos sim ou não (como árvores sendo atacadas ou não) em um número fixo de tentativas (neste caso, 5 árvores).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de termos exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade $ p $ de sucesso. A fórmula é:
Aqui, $ n = 5 $, $ p = 0.4 $ (40%), e $ k $ vai de 0 a 5.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades para cada valor de $ k $ de 0 a 5.
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
- Para $ k = 5 $:
Passo 4
Agora que temos as probabilidades individuais, vamos montar a distribuição de probabilidade acumulada $ F(X = x_i) $, que é a soma das probabilidades até cada $ x_i $.
Vamos calcular isso para cada $ x_i $ de 0 a 5.
- Para $ x_i = 0 $:
- Para $ x_i = 1 $:
- Para $ x_i = 2 $:
- Para $ x_i = 3 $:
- Para $ x_i = 4 $:
- Para $ x_i = 5 $:
Passo 5
Vamos organizar esses valores em uma tabela para ficar mais fácil de visualizar:
$ X = x_i $ | $ F(X \leq x_i) $ |
---|---|
0 | 0.07776 |
1 | 0.33696 |
2 | 0.68256 |
3 | 0.913 |
4 | 0.9898 |
5 | 1.0 |
Passo 6
Agora, para o gráfico, imagine um gráfico de barras onde o eixo X representa o número de árvores atacadas ($ x_i $) de 0 a 5, e o eixo Y representa a probabilidade acumulada $ F(X \leq x_i) $. As alturas das barras seriam:
- $ x_i = 0 $: 0.07776
- $ x_i = 1 $: 0.33696
- $ x_i = 2 $: 0.68256
- $ x_i = 3 $: 0.913
- $ x_i = 4 $: 0.9898
- $ x_i = 5 $: 1.0
Isso mostraria como a probabilidade acumulada aumenta conforme mais árvores são consideradas.
Resposta
A distribuição acumulada de probabilidades $ F(X = x_i) $ para a amostra de 5 árvores é:
$ X = x_i $ | $ F(X \leq x_i) $ |
---|---|
0 | 0.07776 |
1 | 0.33696 |
2 | 0.68256 |
3 | 0.913 |
4 | 0.9898 |
5 | 1.0 |
O gráfico correspondente é um gráfico de barras onde o eixo X representa o número de árvores atacadas ($ x_i $) de 0 a 5, e o eixo Y mostra a probabilidade acumulada $ F(X \leq x_i) $ conforme os valores apresentados na tabela.