Em uma plantação de Eucalipto, 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. Retira-se, ao acaso, uma amostra de 5 árvores. Apresente:
c) a distribuição acumulada de probabilidades F(X=xi) nas tabelas acima e também um gráfico

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma plantação de Eucalipto onde 40% das árvores estão sendo atacadas por formigas. A gente vai tirar uma amostra de 5 árvores aleatoriamente e precisa apresentar a distribuição acumulada de probabilidades $ F(X = x_i) $. Isso envolve entender um pouquinho de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é usada quando temos sim ou não (como árvores sendo atacadas ou não) em um número fixo de tentativas (neste caso, 5 árvores).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição binomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de termos exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade $ p $ de sucesso. A fórmula é:
k
Aqui, $ n = 5 $, $ p = 0.4 $ (40%), e $ k $ vai de 0 a 5.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades para cada valor de $ k $ de 0 a 5.
  • Para $ k = 0 $:
k
  • Para $ k = 1 $:
k = 0
  • Para $ k = 2 $:
P(X = 0) = binom50 (0.4)^0 (0.6)^5 = 1 times 1 times 0.07776 = 0.07776
  • Para $ k = 3 $:
k = 1
  • Para $ k = 4 $:
P(X = 1) = binom51 (0.4)^1 (0.6)^4 = 5 times 0.4 times 0.1296 = 0.2592
  • Para $ k = 5 $:
k = 2

Passo 4

Agora que temos as probabilidades individuais, vamos montar a distribuição de probabilidade acumulada $ F(X = x_i) $, que é a soma das probabilidades até cada $ x_i $.
F(X = xi)
Vamos calcular isso para cada $ x_i $ de 0 a 5.
  • Para $ x_i = 0 $:
xi
  • Para $ x_i = 1 $:
F(X <= xi) = sumk=0^xi P(X = k)
  • Para $ x_i = 2 $:
xi
  • Para $ x_i = 3 $:
xi = 0
  • Para $ x_i = 4 $:
F(X <= 0) = P(X = 0) = 0.07776
  • Para $ x_i = 5 $:
xi = 1

Passo 5

Vamos organizar esses valores em uma tabela para ficar mais fácil de visualizar:
$ X = x_i $ $ F(X \leq x_i) $
0 0.07776
1 0.33696
2 0.68256
3 0.913
4 0.9898
5 1.0

Passo 6

Agora, para o gráfico, imagine um gráfico de barras onde o eixo X representa o número de árvores atacadas ($ x_i $) de 0 a 5, e o eixo Y representa a probabilidade acumulada $ F(X \leq x_i) $. As alturas das barras seriam:
  • $ x_i = 0 $: 0.07776
  • $ x_i = 1 $: 0.33696
  • $ x_i = 2 $: 0.68256
  • $ x_i = 3 $: 0.913
  • $ x_i = 4 $: 0.9898
  • $ x_i = 5 $: 1.0
Isso mostraria como a probabilidade acumulada aumenta conforme mais árvores são consideradas.

Resposta

A distribuição acumulada de probabilidades $ F(X = x_i) $ para a amostra de 5 árvores é:
$ X = x_i $ $ F(X \leq x_i) $
0 0.07776
1 0.33696
2 0.68256
3 0.913
4 0.9898
5 1.0
O gráfico correspondente é um gráfico de barras onde o eixo X representa o número de árvores atacadas ($ x_i $) de 0 a 5, e o eixo Y mostra a probabilidade acumulada $ F(X \leq x_i) $ conforme os valores apresentados na tabela.

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