Seja X uma variável aleatória contínua com função de probabilidade dada por:
f(x)=l 0, para x<0 k x^2, para 0 <= x <= 1 0, para x>1
onde k é uma constante. Pede-se:
d) Encontre e apresente a função de distribuição acumulada F(x);

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de probabilidade definida por partes. A tarefa aqui é encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Teoria das Probabilidades, especificamente sobre funções de densidade e distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a função acumulada a partir da função de densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Ela representa a probabilidade de $ X $ assumir um valor menor ou igual a $ x $. Matematicamente, é definida como:
F(x)
No nosso caso, a função de densidade $ f(x) $ é dada por:
X

Passo 3

Antes de calcular $ F(x) $, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Para isso, usamos a condição de que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
F(x)
Como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 1 $, precisamos calcular apenas de 0 a 1:
k

Passo 4

Vamos resolver essa integral:
k integral0^1 x^2 , dx = k [ x^33 ]0^1 = k ( 13 - 0 ) = k3
Então, temos:
k3 = 1 implies k = 3

Passo 5

Agora que sabemos que $ k = 3 $, podemos reescrever a função de densidade:
k = 3

Passo 6

Vamos calcular agora a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Vamos considerar três casos:
  1. Para $ x < 0 $:
    Como $ f(x) = 0 $ nessa região,
    F(x)
  2. Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
    Aqui, integrando $ f(x) $ de 0 até $ x $:
    x < 0
  3. Para $ x > 1 $:
    Toda a probabilidade já foi acumulada até 1, então:
    f(x) = 0

Resposta

A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por:
F(x)

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