Seja uma variável aleatória contínua com função de probabilidade dada por:
onde k é uma constante. Pede-se:
d) Encontre e apresente a função de distribuição acumulada F(x);
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função de probabilidade definida por partes. A tarefa aqui é encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Isso faz parte do conteúdo de Teoria das Probabilidades, especificamente sobre funções de densidade e distribuição. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a função acumulada a partir da função de densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Ela representa a probabilidade de $ X $ assumir um valor menor ou igual a $ x $. Matematicamente, é definida como:
F(x)
No nosso caso, a função de densidade $ f(x) $ é dada por:
X
Passo 3
Antes de calcular $ F(x) $, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Para isso, usamos a condição de que a integral de $ f(x) $ em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
F(x)
Como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $ e $ x > 1 $, precisamos calcular apenas de 0 a 1:
k
Passo 4
Vamos resolver essa integral:
k integral0^1 x^2 , dx = k [ x^33 ]0^1 = k ( 13 - 0 ) = k3
Então, temos:
k3 = 1 implies k = 3
Passo 5
Agora que sabemos que $ k = 3 $, podemos reescrever a função de densidade:
k = 3
Passo 6
Vamos calcular agora a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Vamos considerar três casos:
Para $ x < 0 $:
Como $ f(x) = 0 $ nessa região,
F(x)
Para $ 0 \leq x \leq 1 $:
Aqui, integrando $ f(x) $ de 0 até $ x $:
x < 0
Para $ x > 1 $:
Toda a probabilidade já foi acumulada até 1, então:
f(x) = 0
Resposta
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é dada por: