O plutônio 239 radioativo (
ano) é usado em reatores nucleares e bombas atômicas. Se em uma bomba atômica pequena existirem
desse isótopo, qual será o tempo necessário para que a substância decaia para
, quantidade suficientemente pequena para tornar a bomba inofensiva? (Sugestão: o decaimento radioativo segue uma cinética de primeira ordem).
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (peguei os números do enunciado):
- Massa inicial:
. - Massa final desejada:
. - Meia-vida:
.
O que se pede: determinar o temponecessário para que a massa decaia de para , sabendo que o decaimento segue cinética de primeira ordem.
Passo 2
Modelo matemático do decaimento de primeira ordem.
- Em cinética de primeira ordem, a taxa de variação da quantidade
é proporcional a com sinal negativo (pois decai). Escreve-se a equação diferencial:
onde
é a constante de decaimento (unidade:
).
- Para resolver, separam-se as variáveis:
Integra-se dos valores iniciais
até
:
- As integrais dão:
- Isolando
obtemos a lei exponencial do decaimento:
Explicação rápida:
é o logaritmo natural; a equação mostra que a fração que sobra decresce exponencialmente com tempo.
Passo 3
Relação entre meia-vida
e
.
- A meia-vida é o tempo em que
. Aplicando a fórmula do decaimento:
- Tomando logaritmo natural:
portanto
Isto é útil porque nos dá
a partir da meia-vida fornecida.
Passo 4
Calcular numericamente
usando
.
Substituindo
:
Interpretação: em média a fração que decai por ano é muito pequena, por isso o decaimento é muito lento.
Passo 5
Determinar o tempo
para
partindo de
.
- Da relação
isolamos :
- Aqui
. Então . Assim
- Substituindo os valores numéricos:
Cálculo intermediário: usei
. O resultado mostra que são necessários centenas de milhares de anos para a massa cair de
para
.
Passo 6
Interpretação final e incentivo.
- Conclusão física rápida: com uma meia-vida tão grande, 100 g é atingido só depois de cerca de
anos — portanto, em escala humana a substância permanece ativa por muito tempo. - Você conseguiu: a técnica é sempre a mesma para problemas de decaimento exponencial — escrever a equação diferencial (ou usar diretamente
), encontrar pela meia-vida e resolver para . Se quiser, praticamos outro exemplo rápido juntos!