O plutônio 239 radioativo ( t_{1 / 2}=2,44 \times 10^{5} ano) é usado em reatores nucleares e bombas atômicas. Se em uma bomba atômica pequena existirem 5,0 \times 10^{2} \mathrm{~g} desse isótopo, qual será o tempo necessário para que a substância decaia para 1,0 \times 10^{2} \mathrm{~g}, quantidade suficientemente pequena para tornar a bomba inofensiva? (Sugestão: o decaimento radioativo segue uma cinética de primeira ordem).

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (peguei os números do enunciado):
  • Massa inicial: N_0 = 5,0\times10^{2}\\ \mathrm{g}.
  • Massa final desejada: N = 1,0\times10^{2}\\ \mathrm{g}.
  • Meia-vida: t_{1/2} = 2,44\times10^{5}\\ \text{anos}.
    O que se pede: determinar o tempo t necessário para que a massa decaia de N_0 para N, sabendo que o decaimento segue cinética de primeira ordem.

Passo 2

Modelo matemático do decaimento de primeira ordem.
  • Em cinética de primeira ordem, a taxa de variação da quantidade N(t) é proporcional a N(t) com sinal negativo (pois decai). Escreve-se a equação diferencial:
\frac{dN}{dt} = -\lambda N,
onde \lambda é a constante de decaimento (unidade: \text{ano}^{-1}).
  • Para resolver, separam-se as variáveis:
\frac{dN}{N} = -\lambda\,dt.
Integra-se dos valores iniciais (N_0,0) até (N,t):
\int_{N_0}^{N}\frac{dN'}{N'} = -\lambda\int_{0}^{t}dt'.
  • As integrais dão:
\ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t.
  • Isolando N(t) obtemos a lei exponencial do decaimento:
N(t)=N_0\,e^{-\lambda t}.
Explicação rápida: \ln é o logaritmo natural; a equação mostra que a fração que sobra decresce exponencialmente com tempo.

Passo 3

Relação entre meia-vida t_{1/2} e \lambda.
  • A meia-vida é o tempo em que N(t_{1/2})=N_0/2. Aplicando a fórmula do decaimento:
\frac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda t_{1/2}}\quad\Rightarrow\quad e^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{1}{2}.
  • Tomando logaritmo natural:
-\lambda t_{1/2}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2,
portanto
\lambda=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Isto é útil porque nos dá \lambda a partir da meia-vida fornecida.

Passo 4

Calcular numericamente \lambda usando t_{1/2}=2,44\times10^{5}\\ \text{anos}.
\lambda=\frac{\ln 2}{2,44\times10^{5}\\ \text{anos}}.
Substituindo \ln 2\approx0,693147:
\lambda\approx\frac{0,693147}{2,44\times10^{5}}\\ \text{ano}^{-1}\approx 2,84\times10^{-6}\\ \text{ano}^{-1}.
Interpretação: em média a fração que decai por ano é muito pequena, por isso o decaimento é muito lento.

Passo 5

Determinar o tempo t para N(t)=1,0\times10^{2}\\ \mathrm{g} partindo de N_0=5,0\times10^{2}\\ \mathrm{g}.
  • Da relação \ln\!\left(\tfrac{N}{N_0}\right)=-\lambda t isolamos t:
t=-\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right).
  • Aqui \dfrac{N}{N_0}=\dfrac{1,0\times10^{2}}{5,0\times10^{2}}=0,2=\dfrac{1}{5}. Então \ln\!\left(\dfrac{N}{N_0}\right)=\ln(0,2)=-\ln 5. Assim
t=\frac{1}{\lambda}\ln 5.
  • Substituindo os valores numéricos:
t\approx\frac{1,6094379}{2,84\times10^{-6}}\\ \text{anos}\approx 5,66\times10^{5}\\ \text{anos}.
Cálculo intermediário: usei \ln 5\approx1,6094379. O resultado mostra que são necessários centenas de milhares de anos para a massa cair de 500\\ \mathrm{g} para 100\\ \mathrm{g}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo.
  • Conclusão física rápida: com uma meia-vida tão grande, 100 g é atingido só depois de cerca de 5{,}66\times10^{5} anos — portanto, em escala humana a substância permanece ativa por muito tempo.
  • Você conseguiu: a técnica é sempre a mesma para problemas de decaimento exponencial — escrever a equação diferencial (ou usar diretamente N(t)=N_0e^{-\lambda t}), encontrar \lambda pela meia-vida e resolver para t. Se quiser, praticamos outro exemplo rápido juntos!

Resposta

t \approx 5,66\times10^{5}\\ \text{anos}

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