Use o método de integração por partes para calcular as integrais indefinidas abaixo:
I=integral ln ^3(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral ln^3(2x),dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui vamos escolher em cada etapa u uma potência de logaritmo e dv = dx.

Passo 2

Escolhemos
u = ln^3(2x), dv = dx
Então
du = 3,ln^2(2x),1x,dx
e
v = integral dv = x
Aplicando a fórmula,
integral ln^3(2x),dx = x,ln^3(2x) - integral x cdot 3,ln^2(2x),1x,dx = x,ln^3(2x) - 3integral ln^2(2x),dx

Passo 3

Agora calculamos
integral ln^2(2x),dx
por partes novamente, com
u = ln^2(2x), dv = dx
Segue
du = 2,ln(2x),1x,dx, v = x
Logo,
integral ln^2(2x),dx = x,ln^2(2x) - integral x cdot 2,ln(2x),1x,dx = x,ln^2(2x) - 2integral ln(2x),dx

Passo 4

Falta ainda
integral ln(2x),dx
Fazendo partes com
u = ln(2x), dv = dx
temos
du = 1x,dx, v = x,
então
integral ln(2x),dx = x,ln(2x) - integral xcdot1x,dx = x,ln(2x) - x

Passo 5

Reunindo tudo:
integral ln^2(2x),dx = x,ln^2(2x) - 2l(x,ln(2x) - xr) = x,ln^2(2x) - 2x,ln(2x) + 2x
Então
I = x,ln^3(2x) - 3l(x,ln^2(2x) - 2x,ln(2x) + 2xr) = x,ln^3(2x) - 3x,ln^2(2x) +6x,ln(2x) -6x + C

Resposta

I = xl[ln^3(2x) - 3ln^2(2x) +6ln(2x) -6r] + C

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