(2 poetos) Considere a equação
(a) A equaprio acima é exata? Justifique
(b) Mostre que a equação acima é homogênea.
(c) Por um processo de substituição, encontre a solução dessa EDO.
(b) Mostre que a equação acima é homogênea.
(c) Por um processo de substituição, encontre a solução dessa EDO.
Passo 1
Estamos lidando com a EDO
. O conteúdo é EDO exata e homogênea, e para resolver vamos precisar: testar exatidão via derivadas parciais, mostrar homogeneidade conferindo graus, e depois usar substituição
para reduzir a equação a variáveis separáveis.
Passo 2
Temos
e
. Para checar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Para verificar homogeneidade, observamos que
e
são polinômios de grau 2, pois
Logo, a EDO é homogênea de grau 2.
Passo 4
Fazemos a substituição
, de modo que
. Substituindo na EDO:
Simplificando,
Dividindo por
(pressupondo
) e rearranjando, obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Para a integral à direita, definimos
, então
e
Daí
Multiplicando por 6 e exponenciando, chegamos em
Substituindo
,
Resposta
A solução geral é
com
constante de integração.