(2 poetos) Considere a equação
(5 x^2-2 y^2) d x-x y d y=0
(a) A equaprio acima é exata? Justifique
(b) Mostre que a equação acima é homogênea.
(c) Por um processo de substituição, encontre a solução dessa EDO.

Passo 1

Estamos lidando com a EDO (5x^2-2y^2),dx - x y,dy = 0. O conteúdo é EDO exata e homogênea, e para resolver vamos precisar: testar exatidão via derivadas parciais, mostrar homogeneidade conferindo graus, e depois usar substituição y=vx para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Temos M(x,y)=5x^2-2y^2 e N(x,y)=-xy. Para checar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = -4y,
partial Npartial x = -y
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para verificar homogeneidade, observamos que M e N são polinômios de grau 2, pois
M(tx,ty)=5t^2x^2-2t^2y^2=t^2M(x,y),
N(tx,ty)=-t^2xy=t^2N(x,y)
Logo, a EDO é homogênea de grau 2.

Passo 4

Fazemos a substituição y=vx, de modo que dy=v,dx + x,dv. Substituindo na EDO:
(5x^2-2v^2x^2)dx - x,(v x)(v,dx + x,dv)=0
Simplificando,
(5-2v^2)x^2dx - (v^2x^2dx + v x^3dv)=0,
(5-3v^2)x^2dx - v x^3dv=0
Dividindo por x^2 (pressupondo xneq0) e rearranjando, obtemos
(5-3v^2)dx - v x,dv=0 Longrightarrow dxx = v5-3v^2,dv

Passo 5

Integramos ambos os lados:
integral dxx = integral v5-3v^2,dv
Para a integral à direita, definimos u=5-3v^2, então du=-6v,dv e
integral v5-3v^2,dv = -16integral duu = -16ln|u| + C
Daí
ln|x| = -16ln|5-3v^2| + C1
Multiplicando por 6 e exponenciando, chegamos em
x^6(5-3v^2) = C2
Substituindo v=y/x,
x^6l(5-3y^2x^2r)=x^4(5x^2-3y^2)=C

Resposta

A solução geral é
x^4(5x^2-3y^2)=C,
com C constante de integração.

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