Questão 3
Seja a equação seguinte :
a. Provar que a função
, definida por
para todo
, é uma solução particular da equação
.
b. Resolver a equação
em
.
b. Resolver a equação
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
, que é uma equação diferencial de Euler–Cauchy. Na parte (a) queremos verificar que
é solução e na parte (b) determinar a solução geral em
. Vamos precisar calcular derivadas e usar a teoria de equações de Cauchy–Euler.
Passo 2
Para (a), calculamos as derivadas de
: temos
e
. Substituindo em
dá
logo
Passo 3
Para (b), reconhecemos que dividir tudo por
leva à forma padrão
que é a forma canônica de uma equação de Euler–Cauchy. A ideia é tentar uma solução do tipo
Passo 4
Assumindo
, derivamos:
e
. Substituindo em
obtemos
Isso gera a equação característica
, cuja única raiz dupla é
. Quando a raiz
é dupla em Euler–Cauchy, a segunda solução independente é dada por
. Aqui
, então
e
são soluções fundamentais. Assim, a solução geral em
é