Questão 3

Seja a equação seguinte :
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0
a. Provar que a função y1, definida por y1(x)=x para todo x in R, é uma solução particular da equação ] 0,+infty[.
b. Resolver a equação em .

Passo 1

O enunciado apresenta a equação x^2y''-xy'+y=0, que é uma equação diferencial de Euler–Cauchy. Na parte (a) queremos verificar que y1(x)=x é solução e na parte (b) determinar a solução geral em ]0,+infty[. Vamos precisar calcular derivadas e usar a teoria de equações de Cauchy–Euler.

Passo 2

Para (a), calculamos as derivadas de y1(x)=x: temos y1'(x)=1 e y1''(x)=0. Substituindo em x^2y''-xy'+y
x^2cdot0 - xcdot1 + x = -x + x = 0,
logo y1(x)=x satisfaz a equação.

Passo 3

Para (b), reconhecemos que dividir tudo por x^2 leva à forma padrão
y'' - 1x y' + 1x^2y = 0,
que é a forma canônica de uma equação de Euler–Cauchy. A ideia é tentar uma solução do tipo y=x^m.

Passo 4

Assumindo y=x^m, derivamos:
y'=m x^m-1 e y''=m(m-1)x^m-2. Substituindo em x^2y''-xy'+y=0 obtemos
[m(m-1)-m+1]x^m = (m-1)^2 x^m = 0
Isso gera a equação característica (m-1)^2=0, cuja única raiz dupla é m=1. Quando a raiz m é dupla em Euler–Cauchy, a segunda solução independente é dada por m=1. Aqui y1(x)=x, então
y2(x)=xln x e ]0,+infty[ são soluções fundamentais. Assim, a solução geral em y(x)=C1x + C2xln x é

Resposta

y(x)=C1x + C2xln x

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