Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela -ésima coluna de e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U, e igualando a a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as (k-1) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e
d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e então resolvendo o sistema abaixo, sendo e b=(r11 13 21.6 30)
Passo 1
O enunciado pede para derivar o método de Doolittle, que consiste em fatorar
A = LU
onde L é triangular inferior com diagonal unitária e U é triangular superior. Vamos usar a definição de produto de matrizes para obter expressões para os elementos de L e U, justificar não-singularidade de U, escrever o algoritmo e testar com o sistema dado.
Passo 2
Para i=1 e qualquer j, do produto A=LU temos
a1j = summ=1^n l1m,umj
Como l11=1 e l1m=0 para m>1, sobra
a1j = u1j
Logo
u1j = a1j
Passo 3
Para j=1 e qualquer i, do mesmo produto
ai1 = summ=1^n lim,um1
Aqui u11neq0 e um1=0 para m>1, então
ai1 = li1,u11,
isto é
li1 = ai1u11
Passo 4
Suponha que as primeiras k-1 linhas de U e colunas de L já estejam definidas. Para ukj com j>= k:
a) u1j=a1j
b) li1=ai1/u11
c) ukj=akj-summ=1^k-1lkmumj, lik=l(aik-summ=1^k-1limumkr)/ukk
d) Como det(A)=det(L)det(U) e det(L)=1, se det(A)neq0 então det(U)neq0, logo ukkneq0.
e) Algoritmo Doolittle em loops para k=1 a n usando as fórmulas acima.
f) Fatoração de A dá L e U acima e solução x=(1,1,1,1)^T.