Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração
com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela
-ésima coluna de
e iguale a
. Verifique que desta forma obtém-se o elemento
;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U, e igualando a a
será possível obter
;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as (k-1) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e
d) explique por que, se A é não singular, então
também o será, donde
,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e então resolvendo o sistema abaixo, sendo
e
b=(r11 13 21.6 30)