(2 poilos) Seja f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y\right).
a) (0,25 pontos) Calcule f(1,0).
b) (0,25 pontos ) Calcule f(0, e).
c) (0,5 pontos ) Determine o domfnio de f.
d) ( 0,5 pontos) Determine a imagem de f.
e) ( 0,5 pontos) Faça o esboço do domínio de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\ln\bigl(x^2+y\bigr)
e pede:
– em (a) e (b) avaliar f em pontos dados;
– em (c) encontrar o domínio de f;
– em (d) determinar a imagem de f;
– em (e) esboçar o domínio.
Para resolver usaremos propriedades da função logarítmica: o argumento deve ser positivo e \ln mapeia (0,\infty) em \mathbb{R}.

Passo 2

Para calcular \,f(1,0)=\ln\bigl(1^2+0\bigr)=\ln(1)=0.

Passo 3

Para calcular \,f(0,e)=\ln\bigl(0^2+e\bigr)=\ln(e)=1.

Passo 4

O domínio é o conjunto de (x,y) tais que o argumento de \ln seja positivo, isto é:
x^2+y>0
que equivale a
y>-x^2.

Passo 5

Como x^2+y varia por todos os valores em (0,\infty), a função \ln assume todos os valores reais. Logo, a imagem de f é
(-\infty,\infty).

Passo 6

Para esboçar o domínio, desenhe a parábola
y=-x^2
e faça o sombreamento da região acima dela (sem incluir a curva), pois é onde y>-x^2.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y>-x^2\}
(d) (-\infty,\infty)
(e) Região do plano acima da parábola y=-x^2, sem incluir a própria curva.

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