Questão 10. Considere o sistema: \{2 x+y+z=b ; x+2 y-z=2 ; x-y+z=1\}. Esse sistema tem solução se, e somente se, b for igual a:

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + z = b,\\\ x + 2y - z = 2,\\\ x - y + z = 1, \end{cases}
e pergunta para que valor de b ele é compatível. O conteúdo aqui é existência de solução de um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{c}: basta ver se \det(A)\neq0, pois nesse caso para qualquer vetor-lado direito \mathbf{c} (aqui envolvendo b) existe solução única.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Sabemos que se \det(A)\neq0 então, para qualquer valor de b, o sistema tem solução única.

Passo 3

Vamos calcular \det(A) por expansão por co­fatores na primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & -1\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\\ -1 & 1\end{pmatrix} =2\cdot1-(-1)\cdot(-1)=2-1=1,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1-(-1)\cdot1=1+1=2,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 1 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot1=-1-2=-3.
Logo
\det(A)=2\cdot1 -1\cdot2 +1\cdot(-3)=2-2-3=-3\neq0.

Passo 4

Como \det(A)=-3\neq0, o sistema é sempre compatível (tem solução única) para qualquer valor de b.

Resposta

O sistema tem solução para todo b\in\mathbb{R}.

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