para n inteiro (presume-se n\ge 1). As informações relevantes são:
A integral é sobre o intervalo [-\pi,\pi].
A função integranda é 2x\sin(nx).
Passo 2
Observação de paridade (isso simplifica a integral e economiza trabalho):
A função x é ímpar: \,x=-(-x).
A função \sin(nx) é ímpar: \sin(-nx)=-\sin(nx).
Produto de duas funções ímpares é uma função par. Logo 2x\sin(nx) é par.
Para função par f vale \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx. Aplicando aqui,