(1,0 points) Considere f(x)=2 x, em [-\pi, \pi]. Calcule:
b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2 x \sin (n x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx)\,dx,
para n inteiro (presume-se n\ge 1). As informações relevantes são:
  • A integral é sobre o intervalo [-\pi,\pi].
  • A função integranda é 2x\sin(nx).

Passo 2

Observação de paridade (isso simplifica a integral e economiza trabalho):
  • A função x é ímpar: \,x=-(-x).
  • A função \sin(nx) é ímpar: \sin(-nx)=-\sin(nx).
  • Produto de duas funções ímpares é uma função par. Logo 2x\sin(nx) é par.
    Para função par f vale \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx. Aplicando aqui,
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 2x\sin(nx)\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2\int_{0}^{\pi} 2x\sin(nx)\,dx = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Agora calculamos I=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente.
Escolha:
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \sin(nx)\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \int \sin(nx)\,dx = -\frac{\cos(nx)}{n}.
(Explicando: integrar \sin(nx) -\cos(nx)/n porque \frac{d}{dx}\cos(nx) = -n\sin(nx).)

Passo 4

Aplicando integração por partes:
I = \left. u v \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} v\,du = \left. -\frac{x\cos(nx)}{n} \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \left(-\frac{\cos(nx)}{n}\right) dx.
Simplificando os termos:
  • O termo de fronteira é
\left. -\frac{x\cos(nx)}{n} \right|_{0}^{\pi} = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - 0 = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n},
pois \cos(n\pi)=(-1)^{n}.
  • O segundo termo é
- \int_{0}^{\pi} \left(-\frac{\cos(nx)}{n}\right) dx = \frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx = \frac{1}{n}\left.\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = \frac{1}{n^{2}}\bigl(\sin(n\pi)-\sin 0\bigr)=0,
pois \sin(n\pi)=0.
Portanto
I = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.

Passo 5

Voltando para b_{n}:
b_{n}=\frac{4}{\pi}\,I = \frac{4}{\pi}\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right) = -\frac{4(-1)^{n}}{n}.
Podemos também reescrever de forma equivalente como
b_{n}=\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n}.

Resposta

\displaystyle b_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n}=\frac{4(-1)^{\,n+1}}{n}

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