Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine o número de arestas desse poliedro convexo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um poliedro convexo com 10 vértices que possui faces triangulares e quadrangulares. A quantidade de faces quadrangulares (Q), triangulares (T) e o total de faces (F = Q + T) formam uma progressão aritmética. Nosso objetivo é descobrir quantas arestas (E) esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas da geometria dos poliedros, principalmente a Fórmula de Euler.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Fórmula de Euler, que relaciona vértices (V), arestas (E) e faces (F) de um poliedro convexo:
V - E + F = 2
Aqui, sabemos que V = 10 , então:
10 - E + F = 2 Rightarrow F = E - 8

Passo 3

Agora, como as faces são triangulares e quadrangulares, cada triângulo contribui com 3 arestas e cada quadrado com 4 arestas. Porém, cada aresta é compartilhada por duas faces, então a relação entre as arestas e as faces é:
E = 3T + 4Q2

Passo 4

Sabemos também que Q , T e F estão em progressão aritmética. Isso significa que a diferença entre T e Q é a mesma que entre F e T :
T - Q = F - T Rightarrow F = 2T - Q
Como F = Q + T , substituindo:
2T - Q = Q + T Rightarrow T = 2Q
Então, F = Q + 2Q = 3Q .

Passo 5

Voltando à Fórmula de Euler, já que F = 3Q :
10 - E + 3Q = 2 Rightarrow E = 8 + 3Q
Mas também temos E = 3T + 4Q2 . Substituindo T = 2Q :
E = 3(2Q) + 4Q2 = 6Q + 4Q2 = 10Q2 = 5Q
Então:
5Q = 8 + 3Q Rightarrow 2Q = 8 Rightarrow Q = 4
Logo, T = 2Q = 8 e F = 3Q = 12 . Substituindo em E = 5Q :
E = 5 times 4 = 20

Resposta

O número de arestas desse poliedro convexo é 20.

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