Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine o número de arestas desse poliedro convexo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um poliedro convexo com 10 vértices que possui faces triangulares e quadrangulares. A quantidade de faces quadrangulares (Q), triangulares (T) e o total de faces (F = Q + T) formam uma progressão aritmética. Nosso objetivo é descobrir quantas arestas (E) esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar algumas fórmulas da geometria dos poliedros, principalmente a Fórmula de Euler.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Fórmula de Euler, que relaciona vértices (V), arestas (E) e faces (F) de um poliedro convexo:
Aqui, sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, como as faces são triangulares e quadrangulares, cada triângulo contribui com 3 arestas e cada quadrado com 4 arestas. Porém, cada aresta é compartilhada por duas faces, então a relação entre as arestas e as faces é:
Passo 4
Sabemos também que
,
e
estão em progressão aritmética. Isso significa que a diferença entre
e
é a mesma que entre
e
:
Como
, substituindo:
Então,
.
Passo 5
Voltando à Fórmula de Euler, já que
:
Mas também temos
. Substituindo
:
Então:
Logo,
e
. Substituindo em
:
Resposta
O número de arestas desse poliedro convexo é 20.