Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. Determine o número de vértices deste poliedro.

Passo 1

O enunciado diz que temos um poliedro convexo com duas faces pentagonais e cinco faces quadrangulares. Queremos achar o número de vértices V. Para isso usaremos a fórmula de Euler para poliedros convexos,
V - E + F = 2,
além da relação que conecta o número total de arestas contadas pelas faces ao número real de arestas:
soma dos lados de todas as faces = 2E

Passo 2

Primeiro contamos o total de faces:
F = 2 + 5 = 7
Agora somamos o número de lados de todas as faces:
S = 2cdot 5 + 5cdot 4 = 10 + 20 = 30
Como cada aresta é adjacente a duas faces, o número de arestas é
E = S2 = 302 = 15

Passo 3

Aplicando Euler,
V - E + F = 2
V = 2 + E - F = 2 + 15 - 7 = 10

Resposta

O poliedro possui 10 vértices.

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