Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Determine o número de vértices desse poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema sobre poliedros! A gente tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares, 2 quadrangulares e 1 hexagonal. Nosso objetivo aqui é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar uma ferramenta super útil da geometria chamada fórmula de Euler, que relaciona vértices, arestas e faces de um poliedro.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas arestas (as linhas que conectam os vértices) esse poliedro tem. Sabemos que:
  • Cada face triangular tem 3 arestas.
  • Cada face quadrangular tem 4 arestas.
  • A face hexagonal tem 6 arestas.
Então, vamos somar todas essas arestas:
Total de arestas = (4 triângulos times 3) + (2 quadrados times 4) + (1 hexágono times 6) âá
Total de arestas = (4 times 3) + (2 times 4) + (1 times 6) = 12 + 8 + 6 = 26
Mas atenção! Cada aresta é compartilhada por duas faces, então para saber o número real de arestas do poliedro, a gente divide esse total por 2:
E = 262 = 13
Então, o poliedro tem 13 arestas.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula de Euler para descobrir o número de vértices (V):
V - E + F = 2
Onde:
  • V é o número de vértices,
  • E é o número de arestas (que já encontramos, 13),
  • F é o número de faces.
Sabemos que:
F = 4 (triângulos) + 2 (quadrados) + 1 (hexágono) = 7 âá
Substituindo na fórmula:
V - 13 + 7 = 2
V - 6 = 2
V = 2 + 6 = 8

Resposta

O poliedro tem 8 vértices.

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