Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulos tetraédricos. Determine o número de faces deste poliedro.

Passo 1

O enunciado fala de um poliedro convexo com V=9 vértices, dos quais 4 são triédricos (em cada um se encontram 3 faces) e 5 são tetraédricos (em cada um se encontram 4 faces). Para achar o número de faces F vamos usar duas ideias principais:
  1. A soma dos graus (número de arestas incidentes) dos vértices é igual a 2E, onde E é o número de arestas.
  2. A fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2

Passo 2

Cada vértice triédrico tem grau 3 e cada vértice tetraédrico tem grau 4. Logo a soma dos graus é
4cdot 3 ;+; 5cdot 4 ;=;12 + 20 ;=;32
Como a soma dos graus vale 2E, temos
2E = 32 Longrightarrow E = 16

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de Euler:
V - E + F = 2 Longrightarrow 9 - 16 + F = 2 Longrightarrow F = 2 + 16 - 9 = 9

Resposta

O poliedro tem 9 faces.

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