Sendo
(|\vec{u}|=4, |\vec{v}|=3) e \vec{u} \cdot \vec{v}=3, calcular:
\left(2 \vec{v}-\frac{1}{3} \vec{u}\right) \cdot(\vec{u}-3 \vec{v}).

Passo 1

O enunciado dá \|\vec{u}\|=4, \|\vec{v}\|=3 e \vec{u}\cdot\vec{v}=3 e pede para calcular
\bigl(2\vec{v}-\tfrac{1}{3}\vec{u}\bigr)\cdot(\vec{u}-3\vec{v}).
Vamos usar a bilinearidade do produto escalar, a simetria \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u} e \vec{a}\cdot\vec{a}=\|\vec{a}\|^2.

Passo 2

Expandindo por distributividade e fatorando escalares:
\bigl(2\vec{v}-\tfrac{1}{3}\vec{u}\bigr)\cdot(\vec{u}-3\vec{v}) =2\,\vec{v}\cdot\vec{u} -6\,\vec{v}\cdot\vec{v} -\tfrac{1}{3}\,\vec{u}\cdot\vec{u} +\bigl(-\tfrac{1}{3}\vec{u}\bigr)\cdot(-3\vec{v}).
Observando que (-\tfrac{1}{3}\vec{u})\cdot(-3\vec{v})=+\;1\cdot(\vec{u}\cdot\vec{v}).

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos:
2\,\vec{v}\cdot\vec{u}=2\cdot3=6,\quad -6\,\vec{v}\cdot\vec{v}=-6\|\vec{v}\|^2=-6\cdot9=-54,
-\tfrac{1}{3}\,\vec{u}\cdot\vec{u}=-\tfrac{1}{3}\cdot16=-\tfrac{16}{3},\quad (\,-\tfrac{1}{3}\vec{u})\cdot(-3\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}=3.

Passo 4

Somando tudo:
6 - 54 - \tfrac{16}{3} + 3 = (6+3) - 54 - \tfrac{16}{3} =9 - 54 - \tfrac{16}{3} =-45 - \tfrac{16}{3} =-\tfrac{135}{3} - \tfrac{16}{3} =-\tfrac{151}{3}.

Resposta

-\tfrac{151}{3}

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