1. Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares, e o número de faces quadrangulares é igual a 5.

Passo 1

O enunciado fala de um poliedro convexo cujas faces são ou triângulos ou quadriláteros. Chamaremos de F_3 o número de faces triangulares, de F_4 o número de faces quadrangulares, de E o número de arestas e de F o número total de faces. Sabemos que F_4=5 e que
E = 4\,F_3.
Para resolver, vamos usar a relação entre soma dos lados das faces e arestas (cada aresta conta em duas faces).

Passo 2

A relação de contagem de arestas pelas faces é
3\,F_3 + 4\,F_4 \;=\; 2\,E.
Substituímos F_4=5 e E=4\,F_3 nessa equação.

Passo 3

Fazendo as substituições:
3\,F_3 + 4\cdot 5 \;=\; 2\,(4\,F_3) \quad\Longrightarrow\quad 3\,F_3 + 20 = 8\,F_3 \quad\Longrightarrow\quad 20 = 5\,F_3 \quad\Longrightarrow\quad F_3 = 4.

Passo 4

O número total de faces é
F = F_3 + F_4 = 4 + 5 = 9.

Resposta

O poliedro tem 9 faces.

Exercícios relacionados