Quantas diagonais possui um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas diagonais tem um prisma cuja base é um polígono convexo de n lados. Aqui o conteúdo é contagem combinatória em poliedros: vamos contar todos os pares de vértices, que dão segmentos, e então subtrair as arestas, pois diagonais são segmentos que não são arestas.

Passo 2

Primeiro, vemos que o prisma tem duas bases com n vértices cada, totalizando
2n
vértices.

Passo 3

O número de segmentos que ligam quaisquer dois vértices dentre esses 2n é dado por
\binom{2n}{2} = \frac{2n\,(2n-1)}{2} = n\,(2n-1).

Passo 4

Agora contamos quantas arestas o prisma possui. Há n arestas em cada base e n arestas verticais que unem as bases, perfazendo
n + n + n = 3n
arestas.

Passo 5

Como diagonais são justamente os segmentos que não são arestas, subtraímos:
\binom{2n}{2} - 3n = n\,(2n-1) - 3n = 2n^2 - n - 3n = 2n^2 - 4n = 2n(n-2).

Resposta

O prisma tem 2n(n-2) diagonais.

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