Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um poliedro convexo com diferentes tipos de faces: 10 triângulos, 10 quadriláteros e 1 decágono. Nosso objetivo é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, que relaciona vértices, arestas e faces. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula de Euler. Ela é dada por:
Onde:
-
é o número de vértices, -
é o número de arestas, -
é o número de faces.
Já sabemos o número de faces, então precisamos encontrar
para poder descobrir
.
Passo 3
Vamos calcular o número total de arestas. Cada tipo de face tem um certo número de lados, que corresponde ao número de arestas:
- Triângulos têm 3 arestas cada,
- Quadriláteros têm 4 arestas cada,
- O decágono tem 10 arestas.
Calculando todas as arestas das faces:
Mas atenção! Cada aresta é compartilhada por 2 faces, então para encontrar o número real de arestas do poliedro, dividimos esse total por 2:
Passo 4
Agora que sabemos que
e o número total de faces
:
Vamos substituir esses valores na fórmula de Euler para encontrar
:
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Resposta
O poliedro possui 21 vértices.