Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um poliedro convexo com diferentes tipos de faces: 10 triângulos, 10 quadriláteros e 1 decágono. Nosso objetivo é descobrir quantos vértices esse poliedro tem. Para isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros, que relaciona vértices, arestas e faces. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula de Euler. Ela é dada por:
V - E + F = 2
Onde:
  • V é o número de vértices,
  • E é o número de arestas,
  • F é o número de faces.
Já sabemos o número de faces, então precisamos encontrar E para poder descobrir V .

Passo 3

Vamos calcular o número total de arestas. Cada tipo de face tem um certo número de lados, que corresponde ao número de arestas:
  • Triângulos têm 3 arestas cada,
  • Quadriláteros têm 4 arestas cada,
  • O decágono tem 10 arestas.
Calculando todas as arestas das faces:
Total de arestas das faces = (10 times 3) + (10 times 4) + (1 times 10) = 30 + 40 + 10 = 80
Mas atenção! Cada aresta é compartilhada por 2 faces, então para encontrar o número real de arestas do poliedro, dividimos esse total por 2:
E = 802 = 40

Passo 4

Agora que sabemos que E = 40 e o número total de faces F :
F = 10 (triângulos) + 10 (quadriláteros) + 1 (decágono) = 21 âáá
Vamos substituir esses valores na fórmula de Euler para encontrar V :
V - 40 + 21 = 2

Passo 5

Resolvendo a equação para V :
V - 19 = 2
V = 2 + 19
V = 21

Resposta

O poliedro possui 21 vértices.

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