São conhecidas as coordenadas esféricas do ponto P do espaço. No sistema cartesiano tridimensional, qual é o sinal (positivo, negativo ou zero) de cada coordenada?
(3, 7 pi4, 5 pi6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem as coordenadas esféricas de um ponto no espaço, que são dadas como (3, 7pi4, 5pi6). Nossa missão é descobrir o sinal de cada coordenada no sistema cartesiano tridimensional, ou seja, se o x, y e z são positivos, negativos ou zero. Para isso, vamos precisar lembrar como converter coordenadas esféricas para cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de conversão das coordenadas esféricas [(r, \theta, \varphi)) para as coordenadas cartesianas . As fórmulas são:
Aqui, é o ângulo polar (medido a partir do eixo positivo ) e é o ângulo azimutal (medido a partir do eixo positivo no plano ).

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
r = 3, theta = 7pi4, phi = 5pi6
Agora, vamos calcular cada coordenada usando as fórmulas.

Passo 4

Calculando x:
x = 3 cdot sin(7pi4) cdot cos(5pi6)
Sabemos que:
sin(7pi4) = -raiz22 e cos(5pi6) = -raiz32
Então:
x = 3 cdot (-raiz22) cdot (-raiz32) = 3 cdot raiz64 = 3raiz64
Como todos os termos são positivos, x é positivo.

Passo 5

Calculando y:
y = 3 cdot sin(7pi4) cdot sin(5pi6)
Sabemos que:
sin(7pi4) = -raiz22 e sin(5pi6) = 12
Então:
y = 3 cdot (-raiz22) cdot (12) = 3 cdot (-raiz24) = -3raiz24
Como o resultado é negativo, y é negativo.

Passo 6

Calculando z:
z = 3 cdot cos(7pi4)
Sabemos que:
cos(7pi4) = raiz22
Então:
z = 3 cdot raiz22 = 3raiz22
Como o resultado é positivo, z é positivo.

Resposta

No sistema cartesiano, as coordenadas são: x positivo, y negativo e z positivo.

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