Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?
Passo 1
O enunciado diz que temos um poliedro com
vértices, dos quais cinco são ângulos tetraédricos e dois são ângulos pentaédricos. Para resolver, vamos usar duas ferramentas principais:
- A relação entre a soma dos valores nos vértices e o número de arestas:
- A fórmula de Euler para poliedros convexos:
Passo 2
Precisamos interpretar o que significa cada tipo de ângulo sólido:
- Um ângulo tetraédrico é formado por quatro faces planas que se encontram num vértice. Logo, em cada vértice desse tipo há
arestas incidindo. - Um ângulo pentaédrico é formado por cinco faces planas no vértice. Logo, em cada vértice desse tipo há
arestas.
Passo 3
Como há cinco vértices tetraédricos
e dois pentaédricos
, a soma dos graus dos vértices é
Pela relação
, temos
Passo 4
Aplicando a fórmula de Euler
com
e
, obtemos
Resposta
O poliedro tem
arestas e
faces.