Um poliedro de sete vértices tem cinco ângulos tetraédricos e dois ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Passo 1

O enunciado diz que temos um poliedro com V=7 vértices, dos quais cinco são ângulos tetraédricos e dois são ângulos pentaédricos. Para resolver, vamos usar duas ferramentas principais:
  1. A relação entre a soma dos valores nos vértices e o número de arestas:
\sum_{v} \deg(v) \;=\; 2E.
  1. A fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F \;=\; 2.

Passo 2

Precisamos interpretar o que significa cada tipo de ângulo sólido:
  • Um ângulo tetraédrico é formado por quatro faces planas que se encontram num vértice. Logo, em cada vértice desse tipo há \deg(v)=4 arestas incidindo.
  • Um ângulo pentaédrico é formado por cinco faces planas no vértice. Logo, em cada vértice desse tipo há \deg(v)=5 arestas.

Passo 3

Como há cinco vértices tetraédricos \deg=4 e dois pentaédricos \deg=5, a soma dos graus dos vértices é
5 \times 4 \;+\; 2 \times 5 \;=\; 20 + 10 \;=\; 30.
Pela relação \sum \deg(v)=2E, temos
2E = 30 \quad\Longrightarrow\quad E = 15.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Euler V - E + F = 2 com V=7 e E=15, obtemos
7 - 15 + F = 2 \quad\Longrightarrow\quad F = 2 + 15 - 7 = 10.

Resposta

O poliedro tem 15 arestas e 10 faces.

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