- Todo polígono é composto por elementos que são outras figuras geométricas e que recebem um nome especial por causa de sua função, definição e propriedades. A respeito desses elementos dos polígonos, assinale a alternativa correta:
a) Os triângulos não possuem diagonais.
b) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.
c) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.
d) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.
e) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.
a) Os triângulos não possuem diagonais.
b) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.
c) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.
d) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.
e) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.
Passo 1
O enunciado apresenta cinco alternativas (a) a (e) sobre elementos de polígonos e pede que se assinale a alternativa correta. As alternativas são:
- (a) Os triângulos não possuem diagonais.
- (b) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.
- (c) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.
- (d) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.
- (e) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.
Vou analisar cada alternativa usando definições e resultados padrão sobre polígonos.
Passo 2
Definições importantes (precisas e simples):
- Vértice: ponto onde se encontram dois lados consecutivos do polígono.
- Lado: segmento que une dois vértices consecutivos.
- Ângulo interno: ângulo formado por dois lados consecutivos no interior do polígono, em um vértice.
- Ângulo externo: ângulo formado por um lado do polígono e a extensão do lado adjacente, em um vértice; é suplementar ao ângulo interno correspondente.
- Diagonal: segmento de reta que une dois vértices do polígono que NÃO são consecutivos (ou seja, não é um lado).
Observe com calma: a palavra-chave para diagonal é “não consecutivos”. Se ligar vértices consecutivos, o segmento é um lado, não uma diagonal.
Passo 3
Fórmula geral para o número de diagonais de um polígono convexo (ou simples) com
vértices:
Explicação rápida dessa fórmula (para fixar na prova): cada vértice pode ligar-se, em princípio, a
outros vértices; desses, dois são adjacentes (formam lados) e não contam como diagonais, sobrando
diagonais possíveis por vértice. Contando todos os vértices temos
, mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma por cada extremidade), por isso dividimos por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao triângulo (
):
Portanto, o triângulo realmente não possui diagonais — alternativa (a) é verdadeira.
Comentário didático: isso também pode ser visto sem fórmula — num triângulo qualquer os três vértices são todos mutuamente adjacentes, logo não existe par de vértices não consecutivos para ligar.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao quadrilátero (
) — relevante para quadrados e retângulos:
Então todo quadrilátero (incluindo quadrado e retângulo) tem exatamente
diagonais. Isso mostra que as alternativas (d) e (e) estão incorretas:
- (d) diz que quadrados possuem apenas uma diagonal — falso (possuem
). - (e) diz que retângulos e quadrados têm número diferente de diagonais — falso (ambos têm
).
Passo 6
Analisando (b): “Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.”
Problema com (b): esse enunciado inclui também os lados, porque um lado também é um segmento que liga dois vértices consecutivos. A definição correta exige que os vértices NÃO sejam consecutivos. Logo (b) está incorreta. Em prova, fique atento à palavra “qualquer”: é sinal de armadilha se a definição deveria excluir os lados.
Problema com (b): esse enunciado inclui também os lados, porque um lado também é um segmento que liga dois vértices consecutivos. A definição correta exige que os vértices NÃO sejam consecutivos. Logo (b) está incorreta. Em prova, fique atento à palavra “qualquer”: é sinal de armadilha se a definição deveria excluir os lados.
Passo 7
Analisando (c): “Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.”
Problema com (c): a frase é vaga/errada. Um ângulo externo, em geometria de polígonos, tem definição específica: é o ângulo formado pela continuação de um lado e o lado adjacente, em um vértice — e é suplementar ao ângulo interno naquele vértice. A frase da alternativa pretende caracterizar externidade por negação do interno, o que é impreciso (poderia incluir ângulos arbitrários no plano fora do polígono). Portanto (c) está incorreta por falta de precisão/definição correta.
Problema com (c): a frase é vaga/errada. Um ângulo externo, em geometria de polígonos, tem definição específica: é o ângulo formado pela continuação de um lado e o lado adjacente, em um vértice — e é suplementar ao ângulo interno naquele vértice. A frase da alternativa pretende caracterizar externidade por negação do interno, o que é impreciso (poderia incluir ângulos arbitrários no plano fora do polígono). Portanto (c) está incorreta por falta de precisão/definição correta.
Passo 8
Resumo das verificações:
- (a) verdadeira (triângulo tem
diagonais). - (b) falsa (omite a condição “não consecutivos”).
- (c) falsa (definição imprecisa de ângulo externo).
- (d) falsa (quadrado tem
diagonais, não ). - (e) falsa (retângulos e quadrados têm o mesmo número de diagonais:
).
Resposta
a)