1. Todo polígono é composto por elementos que são outras figuras geométricas e que recebem um nome especial por causa de sua função, definição e propriedades. A respeito desses elementos dos polígonos, assinale a alternativa correta:
    a) Os triângulos não possuem diagonais.
    b) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.
    c) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.
    d) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.
    e) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco alternativas (a) a (e) sobre elementos de polígonos e pede que se assinale a alternativa correta. As alternativas são:
  • (a) Os triângulos não possuem diagonais.
  • (b) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.
  • (c) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.
  • (d) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.
  • (e) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.
Vou analisar cada alternativa usando definições e resultados padrão sobre polígonos.

Passo 2

Definições importantes (precisas e simples):
  • Vértice: ponto onde se encontram dois lados consecutivos do polígono.
  • Lado: segmento que une dois vértices consecutivos.
  • Ângulo interno: ângulo formado por dois lados consecutivos no interior do polígono, em um vértice.
  • Ângulo externo: ângulo formado por um lado do polígono e a extensão do lado adjacente, em um vértice; é suplementar ao ângulo interno correspondente.
  • Diagonal: segmento de reta que une dois vértices do polígono que NÃO são consecutivos (ou seja, não é um lado).
Observe com calma: a palavra-chave para diagonal é “não consecutivos”. Se ligar vértices consecutivos, o segmento é um lado, não uma diagonal.

Passo 3

Fórmula geral para o número de diagonais de um polígono convexo (ou simples) com n vértices:
\text{nº de diagonais}=\frac{n(n-3)}{2}.º
Explicação rápida dessa fórmula (para fixar na prova): cada vértice pode ligar-se, em princípio, a n-1 outros vértices; desses, dois são adjacentes (formam lados) e não contam como diagonais, sobrando n-3 diagonais possíveis por vértice. Contando todos os vértices temos n(n-3), mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma por cada extremidade), por isso dividimos por 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao triângulo ( n=3):
\text{nº de diagonais no triângulo}=\frac{3(3-3)}{2}=\frac{3\cdot 0}{2}=0.ºâ
Portanto, o triângulo realmente não possui diagonais — alternativa (a) é verdadeira.
Comentário didático: isso também pode ser visto sem fórmula — num triângulo qualquer os três vértices são todos mutuamente adjacentes, logo não existe par de vértices não consecutivos para ligar.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao quadrilátero ( n=4) — relevante para quadrados e retângulos:
\text{nº de diagonais no quadrilátero}=\frac{4(4-3)}{2}=\frac{4\cdot1}{2}=2.ºá
Então todo quadrilátero (incluindo quadrado e retângulo) tem exatamente 2 diagonais. Isso mostra que as alternativas (d) e (e) estão incorretas:
  • (d) diz que quadrados possuem apenas uma diagonal — falso (possuem \,2).
  • (e) diz que retângulos e quadrados têm número diferente de diagonais — falso (ambos têm 2).

Passo 6

Analisando (b): “Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.”
Problema com (b): esse enunciado inclui também os lados, porque um lado também é um segmento que liga dois vértices consecutivos. A definição correta exige que os vértices NÃO sejam consecutivos. Logo (b) está incorreta. Em prova, fique atento à palavra “qualquer”: é sinal de armadilha se a definição deveria excluir os lados.

Passo 7

Analisando (c): “Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.”
Problema com (c): a frase é vaga/errada. Um ângulo externo, em geometria de polígonos, tem definição específica: é o ângulo formado pela continuação de um lado e o lado adjacente, em um vértice — e é suplementar ao ângulo interno naquele vértice. A frase da alternativa pretende caracterizar externidade por negação do interno, o que é impreciso (poderia incluir ângulos arbitrários no plano fora do polígono). Portanto (c) está incorreta por falta de precisão/definição correta.

Passo 8

Resumo das verificações:
  • (a) verdadeira (triângulo tem 0 diagonais).
  • (b) falsa (omite a condição “não consecutivos”).
  • (c) falsa (definição imprecisa de ângulo externo).
  • (d) falsa (quadrado tem 2 diagonais, não 1).
  • (e) falsa (retângulos e quadrados têm o mesmo número de diagonais: 2).

Resposta

a)

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