Qual polígono cuja soma dos ângulos internos é
?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual polígono cuja soma dos ângulos internos é
?”\n
Informações dadas: a soma dos ângulos internos do polígono é .\n
O que precisamos achar: o número de lados desse polígono (e, se possível, o nome do polígono).
Informações dadas: a soma dos ângulos internos do polígono é
O que precisamos achar: o número de lados desse polígono (e, se possível, o nome do polígono).
Passo 2
Vamos entender uma fórmula fundamental que liga o número de lados de um polígono ao total dos seus ângulos internos. Considere um polígono convexo com
lados. Se escolhermos um vértice e traçarmos diagonais desse vértice para todos os outros vértices não adjacentes, o polígono é dividido em triângulos. Quantos triângulos conseguimos formar dessa maneira? Resposta:
triângulos. Vou explicar por que isso acontece: num polígono com
vértices, excluindo o vértice escolhido e seus dois vértices adjacentes, restam
vértices; cada um desses dá origem a uma diagonal a partir do vértice escolhido, e junto com os dois lados adjacentes formam
regiões triangulares. Esse é um argumento clássico chamado de “triangulação a partir de um vértice”.
Passo 3
Cada um desses triângulos tem soma dos ângulos internos igual a
. Como há
triângulos e as somas dos ângulos desses triângulos cobrem exatamente todos os ângulos internos do polígono (sem sobreposição), a soma dos ângulos internos do polígono vale
Essa é a fórmula que vamos usar: soma dos ângulos internos
, onde
é o número de lados do polígono.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula ao caso dado. Temos a soma dos ângulos internos igual a
. Logo, devemos resolver a equação
Para simplificar, dividimos ambos os lados por
(isso é válido porque
é diferente de zero):
Passo 5
Calcule o quociente:
Portanto
Passo 6
Isolando
somamos
em ambos os lados:
Ou seja, o polígono tem
lados.
Passo 7
Nome do polígono: um polígono com
lados chama-se dodecágono (ou dodecágono simples). Para checar a intuição com exemplos mais simples: triângulo (
) tem soma
; quadrilátero (
) tem soma
. A fórmula funciona e o resultado
é consistente.
Resposta
Dodecágono (polígono com
lados)