Qual polígono cuja soma dos ângulos internos é 1800^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual polígono cuja soma dos ângulos internos é 1800^\circ?”\n
Informações dadas: a soma dos ângulos internos do polígono é \,1800^\circ.\n
O que precisamos achar: o número de lados desse polígono (e, se possível, o nome do polígono).

Passo 2

Vamos entender uma fórmula fundamental que liga o número de lados de um polígono ao total dos seus ângulos internos. Considere um polígono convexo com n lados. Se escolhermos um vértice e traçarmos diagonais desse vértice para todos os outros vértices não adjacentes, o polígono é dividido em triângulos. Quantos triângulos conseguimos formar dessa maneira? Resposta: (n-2) triângulos. Vou explicar por que isso acontece: num polígono com n vértices, excluindo o vértice escolhido e seus dois vértices adjacentes, restam n-3 vértices; cada um desses dá origem a uma diagonal a partir do vértice escolhido, e junto com os dois lados adjacentes formam (n-2) regiões triangulares. Esse é um argumento clássico chamado de “triangulação a partir de um vértice”.

Passo 3

Cada um desses triângulos tem soma dos ângulos internos igual a 180^\circ. Como há (n-2) triângulos e as somas dos ângulos desses triângulos cobrem exatamente todos os ângulos internos do polígono (sem sobreposição), a soma dos ângulos internos do polígono vale
(n-2)\cdot 180^\circ.
Essa é a fórmula que vamos usar: soma dos ângulos internos = (n-2)\cdot 180^\circ, onde n é o número de lados do polígono.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao caso dado. Temos a soma dos ângulos internos igual a \,1800^\circ. Logo, devemos resolver a equação
(n-2)\cdot 180^\circ = 1800^\circ.
Para simplificar, dividimos ambos os lados por 180^\circ (isso é válido porque 180^\circ é diferente de zero):
n-2 = \frac{1800^\circ}{180^\circ}.

Passo 5

Calcule o quociente:
\frac{1800^\circ}{180^\circ} = 10.
Portanto
n-2 = 10.

Passo 6

Isolando n somamos 2 em ambos os lados:
n = 10 + 2 = 12.
Ou seja, o polígono tem \,12 lados.

Passo 7

Nome do polígono: um polígono com \,12 lados chama-se dodecágono (ou dodecágono simples). Para checar a intuição com exemplos mais simples: triângulo ( n=3) tem soma (3-2)\cdot180^\circ=180^\circ; quadrilátero ( n=4) tem soma (4-2)\cdot180^\circ=360^\circ. A fórmula funciona e o resultado \,12 é consistente.

Resposta

Dodecágono (polígono com 12 lados)

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