Considere novamente a função a ser integrada na questão anterior: f(x)=x ln x. Aproxime f^prime(1,5) e f^prime prime(1,5) utilizando diferenças finitas centradas com um passo de 0,01 . Trabalhe com seis casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular. A questão pede pra gente aproximar as derivadas primeira e segunda de
f(x)=xln x
no ponto f'(x)approxf(x+h)-f(x-h)2h usando diferenças finitas centradas com passo f''(x)approxf(x+h)-2f(x)+f(x-h)h^2 .
Conteúdo: derivadas numéricas por diferenças finitas.
O que vamos precisar:
1. Calcular .
2. Aplicar a fórmula centrada pra :

3. Aplicar a fórmula centrada pra :

E trabalhar tudo com seis casas decimais, arredondando no padrão.

Passo 2

Primeiro a gente precisa dos valores
f(x)=xln x
nos pontos , e .
  1. Calcular , , (usando calculadora ou série) e depois multiplicar por .
  2. Depois arredondar cada a seis casas decimais.
    Vamos achar:

Passo 3

Agora a primeira derivada centrada em f'(1,5)approxf(1,5+0,01)-f(1,5-0,01)2cdot0,01 =f(1,51)-f(1,49)0,02 :
f'(1,5)approx0,622286-0,5941770,02 =0,0281090,02 =1,40545
Substituindo os valores:
boxed1,405450
Arredondando a seis casas decimais dá

Passo 4

Agora a segunda derivada centrada:
f''(1,5)approxf(1,5+0,01)-2f(1,5)+f(1,5-0,01)(0,01)^2
Ou seja,
f''(1,5)approx0,622286-2cdot0,608198+0,5941770,0001
Calcule o numerador:
0,622286 -1,216396 +0,594177 =0,000067
Dividindo:
f''(1,5)approx0,0000670,0001=0,67
Arredondando a seis casas decimais:
boxed0,670000

Resposta

f’(1,5) ≈ 1,405450
f’’(1,5) ≈ 0,670000

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