O polinômio p(z)=a z^5+b z^4+c z^3+d z^2+4, é tal que os coeficientes a, b, c, d são reais e p(4+5 i)=4 e^i theta. Determine theta sabendo que o triângulo O A B tem área máxima onde O=(0,0), A=p(4+5 i) e B=p(4-5 i).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo! Temos um polinômio do quinto grau: $ p(z) = a z^{5} + b z^{4} + c z^{3} + d z^{2} + 4 $, onde os coeficientes $ a, b, c, d $ são números reais. Sabemos que quando substituímos $ z = 4 + 5i $ nesse polinômio, o resultado é $ 4 e^{i \theta} $. Além disso, queremos descobrir o valor de $ \theta $ sabendo que o triângulo formado pelos pontos $ O = (0,0) $, $ A = p(4 + 5i) $ e $ B = p(4 - 5i) $ tem área máxima. Vamos usar conhecimentos de números complexos e geometria para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando temos um polinômio com coeficientes reais e substituímos um número complexo nele. Se $ p(z) $ tem coeficientes reais, então $ p(\overline{z}) = \overline{p(z)} $. Ou seja, se substituirmos $ z = 4 + 5i $, o resultado para $ z = 4 - 5i $ será o conjugado do primeiro resultado.
Então, se $ p(4 + 5i) = 4 e^{i \theta} $, então:
p(z)

Passo 3

Agora, vamos pensar nos pontos $ A $ e $ B $ no plano complexo. $ A = 4 e^{i \theta} $ e $ B = 4 e^{-i \theta} $. Isso significa que ambos estão a uma distância de 4 unidades da origem $ O $, mas em direções diferentes, determinadas pelos ângulos $ \theta $ e $ -\theta $.

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo $ OAB $, podemos usar a fórmula da área para dois vetores no plano:
OAB Á
No plano complexo, o “produto cruzado” entre $ A $ e $ B $ equivale ao produto das magnitudes vezes o seno do ângulo entre eles:
Área = 12 | OA times OB | Á
Onde $ \phi $ é o ângulo entre $ A $ e $ B $.

Passo 5

Sabemos que $ |A| = |B| = 4 $ (porque ambos têm módulo 4). O ângulo entre $ A $ e $ B $ é $ 2\theta $ (já que um está em $ \theta $ e o outro em $ -\theta $). Então:
|A| = |B| = 4 Á

Passo 6

Queremos que essa área seja máxima. O máximo valor de $ \sin(2\theta) $ é 1, que ocorre quando $ 2\theta = 90^\circ $. Portanto:
sin(2theta)
2theta = 90^circ

Resposta

O valor de $ \theta $ que maximiza a área do triângulo $ OAB $ é $ 45^\circ $.

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