Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & a\end{pmatrix}
e pede para quais valores de a ela é diagonalizável. O conteúdo teórico que precisamos é o critério de diagonalização via autovalores e autovetores: uma matriz n\times n é diagonalizável se existe uma base de \Bbb R^n (ou \Bbb C^n) formada por autovetores de A.

Passo 2

Calculamos os autovalores resolvendo
\det(A - \lambda I) = 0.
Como A é triangular,
\det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(a-\lambda).
Logo os autovalores são
\lambda_1 = 1 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = a.

Passo 3

Se os autovalores são distintos, isto é, se a \neq 1, então temos dois autovalores diferentes. Por teoria, autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes, formando imediatamente uma base de \Bbb R^2. Portanto, para a\neq1, a matriz A é diagonalizável.

Passo 4

Se a = 1, então o único autovalor é \lambda = 1 com multiplicidade algébrica 2. Nesse caso avaliamos o espaço próprio
\ker(A - I) = \ker\!\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
A equação (A-I)x=0 impõe x_2 = 0 e deixa x_1 livre, de modo que o espaço próprio é unidimensional. A multiplicidade geométrica é 1, menor que a algébrica (2), logo não há base de autovetores completa e A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz A é diagonalizável se, e somente se, a \neq 1.

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