(2 pontos) Sabendo que v_{B}=(3,-2,0), calcule v_{A} sendo
M=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
a matriz mudança de base de A para B.

Passo 1

O enunciado dá o vetor de coordenadas de v na base B, ou seja,
[v]_{B} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix},
e fornece a matriz de mudança de base de A para B:
M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},
que satisfaz
[v]_{B} \;=\; M\,[v]_{A}.
Nosso objetivo é encontrar [v]_{A}.

Passo 2

Denotemos
[v]_{A} = \begin{pmatrix}\alpha\\beta\\gamma\end{pmatrix}.
Então a relação [v]_{B}=M\,[v]_{A} gera o sistema linear
\begin{cases} 0\cdot\alpha + 1\cdot\beta + 0\cdot\gamma = 3,\\\\ 1\cdot\alpha + 1\cdot\beta + 0\cdot\gamma = -2,\\\\ 1\cdot\alpha + 1\cdot\beta + 1\cdot\gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem
\beta = 3.
Substituindo em \alpha + \beta = -2 obtemos
\alpha + 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = -5.
Finalmente, na terceira equação
\alpha + \beta + \gamma = 0
substituímos \alpha=-5 e \beta=3, daí
-5 + 3 + \gamma = 0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 2.

Resposta

[v]_{A} = \begin{pmatrix}-5\\\ 3\\\ 2\end{pmatrix}.

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