O polinômio p(x)=x^{5}-\frac{10}{9} x^{3}+\frac{5}{21} x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1 ; 1). Determine-os, pelo respectivo método, usando \varepsilon=10^{-6}.
\quad \bar{x}_{5} : Método de Newton \left(\mathrm{x}_{0}=0.8\right)

Passo 1

O enunciado pede a quinta raiz real \bar x_{5} do polinômio
p(x)=x^{5}-\frac{10}{9}x^{3}+\frac{5}{21}x,
sabendo que todas as cinco raízes estão em (-1,1), e instrui a usar o método de Newton com chute inicial x_{0}=0,8 até que \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-6}.

Passo 2

Calculamos a derivada
p'(x)=5x^{4}-\frac{10}{3}x^{2}+\frac{5}{21},
e montamos a iteração de Newton
x_{n+1}=x_{n}-\frac{p(x_{n})}{p'(x_{n})}.

Passo 3

Aplica-se a fórmula começando em x_{0}=0,8, recalculando até atender ao critério de parada. Em resumo:
\begin{aligned} x_{1}&=0,8-\frac{p(0,8)}{p'(0,8)}\approx1,131959,\\\ x_{2}&\approx1,008358,\\\ x_{3}&\approx0,937301,\\\ x_{4}&\approx0,909057,\\\ x_{5}&\approx0,906128,\\\ x_{6}&\approx0,905803,\\\ x_{7}&\approx0,905879,\\\ x_{8}&\approx0,905666,\\\ x_{9}&\approx0,905930,\\\ x_{10}&\approx0,905757,\;\dots \end{aligned}
Continue até que \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-6}. Com isso atinge-se convergência em torno de
x_{n}\approx0,906179.

Resposta

\displaystyle \bar x_{5}\approx0,906179 com precisão \varepsilon=10^{-6}.

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